Наименьшее общее кратное

Представим себе такую историю…

– Саша, о чём ты задумался? – спросил у друга Паша.

– Хочу в свою комнату сделать полочки для моих коллекций, – ответил Саша. – И не могу посчитать, какой длины и сколько досок мне нужно купить для изготовления полочек.

– Ну, давай подумаем вместе, – предложил Паша. – Сколько ты вообще планируешь сделать полочек и какой длины они у тебя будут?

– Я хочу сделать 16 полочек длиной 30 сантиметров и 12 полочек длиной 40 сантиметров.

– Понятно! Чтобы выяснить, какой длины должны быть доски, нужно найти такое число, чтобы оно одновременно делилось и на 30 сантиметров, и на 40, – сказал Паша. — В общем, найти такое число, чтобы оно было кратно и 30, и 40.

– И как же найти такое число? – недоумевал Саша.

– Смотри, на число 30 без остатка делятся следующие числа: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, 270 и так далее. Ряд чисел кратных 30 можно продолжать до бесконечности, – начал Паша. – В свою очередь, на число 40 нацело делятся следующие числа: 40, 80, 120, 160, 200, 240, 280 и так далее.

– Паша, у этих чисел есть одинаковые кратные! – заметил Саша.

– Верно! – согласился Паша. – Вот именно они-то нам и нужны. Общими кратными чисел 30 и 40 являются: 120, 240 и так далее. Понятно, что общие кратные этих чисел можно перечислять без конца, но среди них есть наименьшее – число 120. Это значит, что для изготовления полочек тебе достаточно купить доски длиной по 120 сантиметров.

– А как посчитать, сколько мне таких досок нужно купить? – спросил Саша.

– Из доски длиной 120 сантиметров ты можешь сделать 4 полочки по 30 сантиметров. Тогда для 16 таких полок тебе понадобится 4 доски.

– Хорошо! – ответил Саша.

– А так как из доски длиной 120 сантиметров можно сделать 3 полки длиной 40 сантиметров, – продолжил Паша, — то для изготовления 12 таких полок тебе понадобится 4 доски.

– Понятно! – обрадовался Саша. — Значит, мне нужно купить 8 досок по 120 сантиметров. А что за способ мы сейчас с тобой использовали для вычисления длины доски?

– Мы с тобой находили наименьшее общее кратное, – ответил Паша. — Но более точно о наименьшем общем кратном нам сможет рассказать Мудряш.

– Ребята, прежде чем я вас познакомлю с наименьшим общим кратным, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. — В случае с определением длины доски для изготовления полочек вы столкнулись с поиском общих кратных двух чисел. А если быть точнее, то искали наименьшее из общих кратных. Таким числом оказалось 120.

– Давайте рассмотрим такой пример, – предложил Мудряш. – Найдём общие кратные чисел 12 и 18. Для начала выпишем кратные каждого из них в порядке возрастания. Так нам будет легче высмотреть, какие числа встретятся дважды.

– Числа кратные 12, – начал Саша, – 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108 и так далее.

– Числа кратные 18, – продолжил Паша, – 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144, 162 и так далее.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. — Числа, которые встречаются дважды – это есть общие кратные наших чисел. Давайте выпишем их отдельно. В нашем случае это числа 36, 72 и 108. Число 36 называют наименьшим общим кратным чисел 12 и 18.

Запомните! – сказал Мудряш. – Наименьшее натуральное число, которое делится нацело на каждое из двух данных натуральных чисел, называют наименьшим общим кратным этих чисел.

Наименьшее общее кратное чисел а и b принято обозначать таким образом: . Тогда наименьшее общее кратное чисел 12 и 18 равное 36 записывают вот так: .

– Если нужно найти наименьшее общее кратное нескольких чисел, то каждый раз надо выписывать все кратные этих чисел? – решили уточнить мальчишки.

– Наименьшее общее кратное чисел удобно находить, предварительно разложив их на простые множители, – ответил Мудряш. — Давайте найдём наименьшее общее кратное чисел 40 и 150. Для этого разложим числа 40 и 150 на простые множители.

– Число 40 чётное – начал Саша, – значит, оно делится на 2. Получим 20. Число 20 тоже чётное. Разделим его на 2. Получим 10. И снова получили чётное число. Разделим 10 на 2. Получим 5. Число 5 делится на 5. В итоге получим 1. Тогда разложение на простые множители числа 40 выглядит так: , или если записывать степенями, то .

– Число 150 чётное, – продолжил Паша. — Значит, оно делится на 2. Разделим. Получим 75. Сумма цифр числа 75 равна 12. 12 делится на 3, значит, и число 75 тоже делится на 3. Разделим. Получим 25. Число 25 делится на 5. Разделим. Получим 5. Число 5 тоже делится на 5. Разделим. В итоге получим 1. Тогда разложение на простые множители числа 150 можно записать так: , или если записывать степенями, то .

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. — В разложение наименьшего общего кратного чисел 40 и 150 должны войти все простые числа, которые встретились в разложении хотя бы одного из них. Это числа 2, 3 и 5. Как видим, в разложениях данных чисел некоторые простые множители повторяются. Число 2 в разложении числа 40 встречается трижды, а в разложении числа 150 – один раз. Тогда в наименьшее общее кратное число 2 должно войти с показателем степени, наибольшим из встретившихся в разложениях данных чисел, то есть с третьей степенью. Если показатель степени взять меньше, то полученное число не будет делиться на , а значит, и на число 40.

– Также видно, что число 5 в первом разложении встречается 1 раз, во втором – дважды. Значит, число 5 должно войти в наименьшее общее кратное с показателем степени, равным 2.

– Аналогично включаем в искомое разложение множитель 3. Таким образом, .

– А теперь давайте сформулируем правило, по которому мы сейчас с вами находили наименьшее общее кратное, – сказал Мудряш.

— Итак, чтобы найти наименьшее общее кратное, нужно:

1) разложить данные числа на простые множители;

2) выписать все простые числа, которые входят хотя бы в одно из полученных разложений;

3) добавить к ним недостающие множители из разложений других чисел, при этом каждое из выписанных простых чисел взять с наибольшим из показателей степени, с которыми оно входит в разложения данных чисел;

4) найти произведение получившихся множителей. Полученное произведение и будет являться искомым наименьшим общим кратным.

– А теперь давайте, руководствуясь этим правилом, найдём наименьшее общее кратное чисел 15 и 91.

– Разложение на простые множители числа 15 имеет следующий вид, – начал Саша, – .

– В свою очередь, разложение на простые множители числа 91 имеет такой вид, – продолжил Паша, – .

– Что вы можете сказать о данных числах? – спросил Мудряш.

– Числа 15 и 91 не имеют общих простых делителей, – ответили мальчишки. — Значит, эти числа взаимно простые.

– Запомните! – сказал Мудряш. – Наименьшее общее кратное взаимно простых чисел равно их произведению.

– Тогда .

– Рассмотрим ещё один пример, – предложил Мудряш. – Найдём наименьшее общее кратное чисел 500 и 2000.

– Число 2000 полностью делится на 500, – заметил Паша. – Как находят наименьшее общее кратное в таких случаях?

– Верно замечено! – сказал Мудряш. – В таких случаях, нет необходимости раскладывать числа на простые множители. Число 500 является делителем числа 2000. Поэтому .

– Запомните! Если одно из чисел делится нацело на другое, то наименьшее общее кратное этих чисел равно этому числу.

– Кстати, можно находить наименьшее общее кратное не только двух чисел, а вообще любого количества натуральных чисел, в частности трёх, – сказал Мудряш. — Давайте найдём наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 20.

– Разложение числа 8 на простые множители имеет следующий вид, – начал Саша, – . Разложение числа 15 имеет такой вид: . В свою очередь, разложение числа 20 имеет такой вид: .

– Тогда в наименьшее общее кратное чисел 8, 15 и 20 будут входить следующие множители, – продолжил Паша, – , 3 и 5. Найдём их произведение. Получим, что .