Параллельные плоскости

Вопросы занятия:

·                   дадим определение параллельных плоскостей;

·                   докажем теорему, которая выражает признак параллельности плоскостей.

Материал урока.

Согласно третьей аксиоме, вы знаете, что если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Отсюда вытекают следующие случаи расположения плоскостей в пространстве:

1) две плоскости пересекаются по прямой;

2) две плоскости не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. Такие плоскости называют параллельными.

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если две плоскости α и β параллельны, то пишут так:

А говорят «Плоскость α параллельна плоскости β».

Наглядное представление о параллельных плоскостях дают, например, пол и потолок комнаты; плоскость пола и поверхность, стоящего на нем, стола; противоположные стенки шкафа и др.

Сформулируем и докажем теорему, которая выражает признак параллельности двух плоскостей.

Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Доказательство. Пусть даны две плоскости α и β. В плоскости α проведем пересекающиеся прямые а и b в точке М. А в плоскости β проведем пересекающиеся прямые a₁ и b₁, причем такие, что прямая a₁ параллельна прямой а, прямая b₁ параллельна прямой b. Докажем, что плоскости α и β параллельны.

Прямая а принадлежит плоскости α, прямая a₁ принадлежит плоскости β, а прямая а параллельна прямой a₁. Значит, прямая а параллельна плоскости β, по признаку параллельности прямой и плоскости. Аналогично, прямая b параллельна прямой b₁ из плоскости β. Значит, прямая b параллельна плоскости β.

Предположим, что плоскости альфа и бэтта не являются параллельными. То есть они пересекаются по некоторой прямой c.

Тогда плоскость α проходит через прямую а, параллельную плоскости β, и пересекает плоскость β по прямой c, следовательно, прямая а параллельна прямой c. Это вытекает из свойства параллельности прямой и плоскости: если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Но плоскость α также проходит и через прямую b, параллельную плоскости β, и пересекает ее по прямой c. А значит, и прямая b параллельна прямой c.

Таким образом, исходя из нашего предположения, мы получили, что через точку М проходят две прямые а и b, параллельные прямой c. Но это невозможно. Так как по теореме о параллельности прямых через точку М проходит единственная прямая, параллельная прямой c. Следовательно, наше предположение неверно. А, значит, плоскости α и β параллельны. Теорема доказана.

Задача. Докажите, что противолежащие грани параллелепипеда лежат в параллельных плоскостях.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Задача. Докажите, что через две скрещивающиеся прямые  и  можно провести две параллельные плоскости  и  (, ), и притом такая пара плоскостей – единственная.

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы узнали, какие плоскости называются параллельными в пространстве. А именно, две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. А также сформулировали и доказали признак параллельности плоскостей: если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.