Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Представим себе такую историю…

– Саша, что случилось? О чём ты задумался? – спросил у друга Паша.

– У нас в школе собирали макулатуру, – начал Саша. – Наша параллель шестых классов собрала  тонны макулатуры, а параллель пятых классов –  тонны. Мне стало интересно, сколько же всего макулатуры собрали обе параллели и какая из параллелей собрала больше.

– Так возьми и посчитай, – сказал Паша. – Чтобы узнать, сколько всего собрали макулатуры, нужно сложить дроби, а чтобы выяснить, какая из параллелей собрала больше, – сравнить дроби.

– Это понятно, – загрустил Саша, – но проблема в том, что пока я только умею складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями. А как сложить дроби  и ? Ведь эти дроби имеют разные знаменатели.

– Точно… – заметил Паша. – А давай спросим у Мудряша. Он же научил нас складывать и вычитать дроби с одинаковыми знаменателями, а значит, и сможет научить нас складывать и отнимать дроби с разными знаменателями.

– Ребята, прежде чем я вам расскажу о сложении и вычитании дробей с разными знаменателями, а также о сравнении таких дробей, давайте немного разомнёмся и выполним устные задания, – предложил Мудряш.

– Давайте сверимся! – сказал Мудряш. — Посмотрите, что у вас должно было получиться!

– Ну а теперь вернёмся к вашему вопросу, – начал Мудряш. – Чтобы ответить на вопрос «Сколько всего макулатуры собрали обе параллели?», нужно сложить дроби  и .

– Да, – согласились мальчишки, – но мы же ещё не умеем складывать и вычитать дроби с разными знаменателями.

– Чтобы сложить (вычесть) две дроби с разными знаменателями, надо сначала привести их к общему знаменателю, – продолжил Мудряш, – а затем применить правило сложения (вычитания) дробей с одинаковыми знаменателями.

– Наименьший общий знаменатель дробей  и  равен 48, – начал Паша. – Тогда первая дробь  равна дроби .

– А вторая дробь , – продолжил Саша, – равна дроби .

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Каждую из этих дробей вы заменили на равную ей дробь со знаменателем 48. Обратите внимание: этой заменой сложение дробей с разными знаменателями сводится к сложению дробей с одинаковыми знаменателями. А складывать дроби с одинаковыми знаменателями вы уже умеете. Давайте вспомним правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

– Чтобы найти сумму дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители и оставить тот же знаменатель, – сказал Паша.

– А теперь, применяя это правило, ответьте на вопрос «Сколько всего макулатуры собрали параллели шестых и пятых классов?» – спросил Мудряш.

– Получим дробь , – ответил Саша.

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – А теперь давайте ответим на вопрос «Какая из параллелей — шестых или пятых классов — собрала больше макулатуры?»

– Ну, сейчас понятно, что параллель шестых классов собрала больше макулатуры, чем параллель пятых классов, – начал Саша, – ведь .

– Может, вы сможете сказать, на сколько больше собрала макулатуры параллель шестых классов? – спросил у ребят Мудряш.

– Чтобы ответить на этот вопрос, нужно найти разность дробей  и , – начал Паша. – Мы уже выяснили, что наименьший общий знаменатель этих дробей равен 48. Тогда разность дробей  и  можем заменить на разность дробей . Воспользуемся правилом вычитания дробей с одинаковыми знаменателями. В результате получим дробь .

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – А теперь давайте обдумаем, что нам пришлось проделать при сложении и вычитании дробей  и , и сделаем вывод.

– Запомните! Чтобы найти сумму двух дробей, нужно привести их к общему знаменателю, сумму числителей полученных дробей записать в числитель результата и оставить общий знаменатель.

Чтобы найти разность двух дробей, нужно привести их к общему знаменателю, разность дробей записать в числитель результата и оставить общий знаменатель.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, сначала надо привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю, а затем сравнить полученные дроби.

– Если знаменатели слагаемых невелики, то общий знаменатель и дополнительные множители обычно находят в уме, – продолжил Мудряш. – Тогда все вычисления записывают цепочкой равенств. Для удобства дополнительные множители пишут чуть выше и правее слагаемых и подчёркивают небольшой дужкой.

– А теперь давайте потренируемся и найдём сумму дробей  и  и разность дробей  и .

– Начнём с суммы дробей, – сказал Паша. – Для начала найдём общий знаменатель дробей  и . Наименьший общий знаменатель этих дробей равен 60. Тогда сумму дробей  и  заменим на сумму равных им дробей со знаменателем 60. Дополнительный множитель к первой дроби равен 5, а ко второй – 4. Получим сумму дробей  и . В результате получим дробь .

– Осталось вычислить разность дробей  и , – продолжил Саша. – Наименьший общий знаменатель этих дробей равен 9. Тогда разность дробей  и  заменим на разность равных им дробей со знаменателем равным 9. Дополнительный множитель к первой дроби равен 3, ко второй – 1. Получим разность дробей  и . В результате получим дробь .

– Всё правильно посчитали! – согласился Мудряш. – Ещё вам следует знать, что если в результате получается сократимая дробь, то её нужно сократить, если в результате получается неправильная дробь, то необходимо выделить целую часть. Давайте найдём суммы следующих дробей.

– Найдём первую сумму дробей, – начал Паша. – Наименьший общий знаменатель дробей  и  равен 6. Тогда дополнительный множитель к первой дроби равен 2, ко второй дроби – 1. Получим сумму дробей  и . Применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. В результате получим дробь . Это сократимая дробь. Сократим числитель и знаменатель дроби  на 3. Получим дробь .

– Перейдём к следующей сумме дробей – продолжил Саша. – Наименьший общий знаменатель дробей  и  равен 12. Дополнительный множитель к первой дроби равен 3, ко второй – 2. Получим сумму дробей  и . Воспользуемся правилом сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Получим дробь . Это неправильная дробь, так как числитель больше знаменателя. Выделим целую часть. В результате получим дробь .

– Молодцы! – похвалил ребят Мудряш. – Вы знаете, что для натуральных чисел выполняются переместительное и сочетательное свойства сложения. Эти же свойства верны и для дробей.

– А теперь, ребята, давайте посмотрим, как вы всё поняли, и выполним несколько заданий.

Задание первое: расположите дроби в порядке возрастания: а) ;      б) ;       в) ;        г) .

Решение: для начала нужно привести дроби к наименьшему общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель наших дробей равен 30. Дополнительный множитель к первой дроби равен 6, ко второй – 3, к третьей – 2 и к последней – 1. Получим дроби: , , , . А теперь расставим эти дроби в порядке возрастания, то есть от меньшей к большей. Самой первой будет стоять дробь , за ней будет стоять дробь , затем дробь  и последней будет стоять дробь . А значит, наши первоначальные дроби будут стоять в таком порядке: , , , .

Следующее задание: найдите значение выражения .

Решение: сначала вычислим сумму дробей , так как сумма записана в скобках. Напомним, что для того, чтобы сложить два смешанных числа, надо отдельно сложить их целые и дробные части. Сгруппируем отдельно целые части 2 и 1, а также сгруппируем отдельно дробные части  и . В первой группе получим 3. Дроби второй группы приведём к наименьшему общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель дробей  и  равен 24. Дополнительный множитель к первой дроби равен 8, ко второй – 3. Получим сумму дробей  и . Применим правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями. Получим дробь . Тогда наша сумма в скобках равна .

Осталось вычислить разность дробей  и . Снова сгруппируем отдельно целые части и отдельно дробные части наших смешанных чисел. Разность целых частей равна 2. Дробная часть имеет разные знаменатели. Приведём эти дроби к наименьшему общему знаменателю 24. Дополнительный множитель к первой дроби равен 3, ко второй – 1. Получим дроби  и . Мы не можем выполнить вычитание этих дробей, так как первая дробь меньше второй. Возьмём 1 из целой части, запишем её неправильной дробью  и добавим к дроби . Получим дробь . Выполним вычитание. В результате получим . Дробная часть нашего смешанного числа сократимая. Сократим её на 2. В итоге получим .