Средняя линия трапеции

Вспомним, какую фигуру называют трапецией.

Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называют её основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Известны два частных случая трапеции. Равнобокая трапеция, у которой боковые стороны равны. И прямоугольная трапеция, у которой один из углов прямой.

К слову, у такой трапеции будет два прямых угла.

Повторив определение трапеции, введём понятие средней линии трапеции.

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

Изобразим средние линии трапеций изображённых на рисунке.

Для этого сначала найдём их боковые стороны. Далее отметим точками их середины. Ну, а потом проведем средние линии.

Выполним задание. Пользуясь данными рисунков, указать пункты, в которых  является средней линией трапеции .

На первом рисунке точка М не является серединой боковой стороны AB, поэтому МN не является средней линией трапеции.

На втором рисунке точки М и N — середины сторон BC и AD, но они являются основаниями трапеции. А по определению средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Значит, в данном случае МN не является средней линией.

На третьем рисунке видим, что точки М и N — середины боковых сторон. Причём по рисунку понятно, что эта трапеция — равнобокая.

Так получаем, что МN в данном случае — средняя линия трапеции ABCD.

Посмотрев на следующий рисунок, не трудно заметить, что МN соединяет середину одного из оснований и середину одной из боковых сторон, а не середины боковых сторон. Поэтому МN не является средней линией.

На рисунке под номером 5 точки М и N середины боковых сторон АB и CD трапеции ABCD. Значит, МN — её средняя линия.

В последнем случае точки М и N не поровну делят боковые стороны трапеции, поэтому МN не является её средней линией.

Мы получили, что только на рисунках под номерами 3 и 5 изображены средние линии трапеции.

Как и средняя линия треугольника, средняя линия трапеции обладает определёнными свойствами.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство.

1.

2.

Что и требовалось доказать.

Выполним задание, где, пользуясь этой теоремой и данными рисунков, найдём длины средних линий трапеций.

Длина средней линии трапеции равна полусумме оснований.

На рисунке а известны длины оснований. Поэтому не составит никакого труда найти, что .

Перейдём к рисунку б.

Известен периметр трапеции, тогда можем записать,

.

В последнем случае также дан периметр трапеции и известны боковые стороны.

Записав периметр через стороны, и, подставив известные значения, можем выразить сумму оснований.

Задача. В трапеции  найти длины оснований  и , если  в два раза больше  и длина средней линии  равна .

Решение.

Ответ: мм,  мм.

Задача. В прямоугольной трапеции  . Найти длину средней линии , если , а угол .

Решение.

1.

2.

3.  

4.

5.

Ответ: .

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня мы познакомились с понятием средней линии трапеции. Это отрезок, соединяющий середины её боковых сторон.

При этом мы выяснили, что средняя линия трапеции обладает следующими свойствами: она параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Так же мы рассмотрели примеры применения этих знаний при решении задач.