Применение векторов к решению задач

Сегодня мы продолжим работать с векторами, поэтому повторим основные сведения о них.

Отрезок, для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая — концом, называется направленным отрезком или вектором.

На рисунках вектор изображают в виде отрезка со стрелкой, показывающей направление вектора.

Обозначают вектор двумя заглавными буквами со стрелкой над ними. При этом первая буква обозначает начало вектора, а вторая — конец.

Также вектор можно называть одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней.

Любую точку плоскости также считают вектором и называют нулевым вектором.

Длиной ненулевого вектора  называется длина отрезка АB.

Длина любого нулевого вектора равна 0.

Мы с вами рассматривали особый случай расположения векторов относительно друг друга.

Если ненулевые векторы лежат на одной прямой либо на параллельных прямых, то они являются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Среди коллинеарных векторов выделяют два случая: сонаправленные векторы (они имеют одинаковое направление) и противоположно направленные векторы (они имеют противоположные направления). Нулевой вектор считается сонаправленным любому вектору.

Равными называют векторы, если их длины равны и они сонаправлены.

Если же длины векторов равны, но они противоположно направлены, то такие векторы называют противоположными.

Так же вы уже владеете следующими операциями над векторами: сложением, вычитанием и умножением вектора на число.

Для сложения двух векторов существует два правила: правило треугольника и правило параллелограмма. А вот складывать несколько векторов нужно по правилу многоугольника.

Для построения вектора разности мы выделили два способа.

Можно от некоторой точки отложить векторы   и . При этом вектором их разности будет вектор, направленный от конца вектора-вычитаемого к концу вектора-уменьшаемого.

Так же, пользуясь теоремой о разности двух векторов, разность векторов   и  можно представить в виде суммы вектора   и вектора  .

Тогда, последовательно друг за другом отложив векторы   и , по правилу треугольника получим вектор их суммы, который в свою очередь равен вектору разности  .

Последнее действие, которое мы рассмотрели — это умножение вектора на число.

Произведением ненулевого вектора   на число k называется такой вектор , длина которого равна произведению модуля числа k и длины данного вектора . Причем векторы    сонаправлены, если k больше либо равно 0, и противоположно направлены, если k меньше 0.

Стоит обратить внимание на то, что в каждом из этих случаев векторы коллинеарны, а значит вектор  и вектор произведения вектора   на число k всегда будут коллинеарны.

Произведение ненулевого вектора   на ноль, а также произведение   на число k равны .

Владея таким большим багажом знаний о векторах, будет естественным применить его при решении различных задач.

Но перед тем как приступить к их решению, выполним задание.

 параллелограмм,. Выразить   и  через  и .

Обратите внимание, по правилу параллелограмма сумма векторов  и  равна вектору .

.

Теперь рассмотрим  прямоугольник, . Выразить  и  через  и .

.

Рассмотрим второй способ. По правилу треугольника вектор  равен сумме векторов  и .

Вектор  сонаправлен вектору , и его длина . Ну, а вектор  является противоположным вектору , то есть равен .

Тогда вектор  равен сумме  и , и равен разности .

Видим, что, выражая векторы по различным правилам, в итоге мы получаем одинаковый результат.

Теперь приступим к решению задач.

Задача. В треугольнике  проведена медиана .

Доказать: .

Доказательство

Что и требовалось доказать.

В следующей задаче докажем теорему о средней линии треугольника.

Задача. Доказать, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Доказательство

Что и требовалось доказать.

Задача. Доказать, что прямая, проведённая через середины оснований трапеции,

проходит через точку пересечения продолжений боковых сторон.

Доказать: .

Доказательство

  и коллинеарны

Что и требовалось доказать.

Подведём итоги урока.

Сегодня, обобщив многочисленные знания о векторах, мы с вами применили их при решении геометрических задач.