Закон всемирного тяготения. Сила тяжести

С понятием явления всемирного тяготения вы познакомились ещё в седьмом классе. Напомним, что оно заключается в том, что между всеми телами во Вселенной действуют силы притяжения.

Каждый из нас на личном опыте ощущает силу притяжения к Земле, благодаря которой мы можем ходить, бегать и прыгать. И именно эта сила действует на нас, когда мы падаем, споткнувшись или поскользнувшись.

Так почему Земля притягивает к себе все тела? И какие причины вызывают движение Луны вокруг Земли практически по круговой орбите? Наконец, почему планеты Солнечной системы движутся вокруг Солнца?

Первым учёным, который сначала высказал гипотезу, способную ответить на эти и многие другие «ПОЧЕМУ?», а потом строго её доказал, был сэр Исаак Ньютон. Конечно же многие учёные и до Ньютона, пытались ответить на эти вопросы. Среди них и хорошо знакомые вам Николай Коперник, предложивший гелиоцентрическую систему мира. И Иоганн Кеплер, сформулировавший первые количественные законы, открывшими путь к идее всемирного тяготения. И результаты опытов Галилео Галилея, достигнутые им при изучении законов падения тел, и предположение Эдмунда Галлея, который показал, что сила тяготения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния. Всё, казалось, предугадано, однако сформулировать закон никто не мог. И только невиданная способность выделять в сложности явлений физическую основу и математический гений Ньютона позволили ему решить задачу до конца.

Примерно в 1666 году, после многочисленных наблюдений и мысленных экспериментов пришёл к выводу о том, что «Тяготение существует ко всем телам вообще и пропорционально массе каждого из них... все планеты тяготеют друг к другу...»

Так был сформулирован закон всемирного тяготения.

В настоящее время закон формулируется так: две материальные точки притягиваются друг к другу с силами, модули которых прямо пропорциональны произведению масс этих точек и обратно пропорциональны квадрату расстояния между ними:

Коэффициент пропорциональности G, входящий в формулу, получил название гравитационной постоянной. Она численно равна силе притяжения между двумя материальными точками массой 1 кг каждая, находящимися на расстоянии 1 м друг от друга. Единицей её измерения в СИ является

Хотелось бы отметить, что гравитационная постоянная отсутствовала в явном виде у Ньютона и в работах других учёных вплоть до конца XVIII века. И, считается, что впервые она была введена в формулу только после перехода к единой метрической системе мер. А определена она была впервые английским физиком Генри Кавендишем. Он поставил перед собой цель проверить универсальность гравитационного взаимодействия. Для этого он использовал усовершенствованные крутильные весы, сконструированные Джоном Мичеллом.

Сила притяжения между двумя парами шаров заставляла небольшие шары перемешаться к большим. Это вызывало закручивание подвеса, угол которого определялся с помощью луча света, отражённого от зеркальца. По углу закручивания подвеса можно было определить силу, действующую между большими и малыми шарами.

Позднее по результатам эксперимента Кавендиша было получено значение гравитационной постоянной, отличающейся всего лишь на 1 % от ныне принятого значения:

G = 6,67430(15) ⋅ 10⁻¹¹ Н · м² · кг⁻².

Таким образом, Ньютон показал, что причиной, вызывающей падение камня на Землю, движение Луны вокруг Земли и планет вокруг Солнца, является сила всемирного тяготения.

Кроме того, он предположил, что если бы не сопротивление воздуха, то траектория камня, брошенного с очень высокой горы с определённой скоростью, могла бы стать такой, что он вообще никогда не достиг бы поверхности Земли, а двигался бы под действием силы тяготения вокруг неё на постоянном расстоянии (подобно тому, как планеты описывают в небесном пространстве свои орбиты). Проще говоря, камень станет искусственным спутником Земли.

Под искусственными спутниками мы будем понимать космические аппараты, созданные людьми, которые позволяют наблюдать за планетой, вокруг которой они вращаются, а также за другими астрономическими объектами из космоса.

Интересно, что искусственным спутником Земли может стать любое тело произвольной массы. Важно, чтобы ему сообщили за пределами земной атмосферы горизонтальную скорость, при которой оно начнёт двигаться по окружности вокруг Земли.

Скорость, при достижении которой космический аппарат, запускаемый с Земли, может стать её искусственным спутником, называется первой космической скоростью.

Давайте подсчитаем её значение. Итак, пусть наш спутник находится за пределами земной атмосферы. Следовательно, силы сопротивления его движению практически отсутствуют и на него действует только сила притяжения к планете. Поэтому, спутник движется как свободно падающее тело с ускорением свободного падения.

Кроме этого, сила всемирного тяготения сообщает спутнику центростремительное ускорение. Выберем ось координат так, чтобы её положительное направление совпало с направлением действия силы, и запишем уравнение движения спутника в проекциях на эту ось:

Силу, входящую в уравнение движения, мы определим из закона всемирного тяготения:

Обратите внимание на то, что знаменатель в формуле представляет собой расстояние от центра Земли до спутника. Центростремительное же ускорение спутника, мы найдём, как отношение квадрата его линейной скорости к радиусу орбиты:

Перепишем второй закон Ньютона с учётом последних двух формул:

Из полученного равенства, выполнив простые математические преобразования, получим формулу для определения первой космической скорости на любой высоте над поверхностью Земли:

Обратите внимание на то, что эта скорость не зависит от массы спутника, но зависит от его расстояния от поверхности Земли: чем оно больше, тем меньше скорость спутника на круговой орбите.

Если можно пренебречь высотой спутника в сравнении с радиусом Земли, то первая космическая скорость может быть рассчитана по формуле:

Все величины, входящие в формулу, — это известные константы. И если подставить их значения, то получится, что для Земли первая космическая скорость примерно равна семи целым девяноста одной сотой километра в секунду (7,91 км/с).

Именно такую скорость в горизонтальном направлении нужно сообщить телу на небольшой, сравнительно с радиусом Земли, высоте, чтобы оно не упало на Землю, а стало её спутником, движущимся по круговой орбите.

Одним из проявлений силы всемирного тяготения является сила притяжение тел к Земле, также называемая силой тяжести. Давайте вспомним, что силой тяжести называется сила, действующая на тело со стороны Земли и сообщающая ему ускорение свободного падения. Она равна произведению массы тела и ускорения свободного падения:

Но не будем забывать о том, что данная формула справедлива лишь в том случае, когда с Землёй можно связать инерциальную систему отсчёта. Но мы то уже знаем, что любое тело, находящееся на поверхности нашей планеты, вместе с Землёй вращается вокруг её оси. Поэтому оно обладает центростремительным ускорением. Значит, в общем случае сила тяжести не равна силе тяготения.

Но, как показывают вычисления, значение этого центростремительного ускорения очень мало.

Поэтому с небольшим допущением можно считать, что сила тяжести, действующая на тело вблизи поверхности Земли, примерно равна силе тяготения:

Значит её значение можно определять и на основании закона всемирного тяготения:

Если высотой тела над поверхностью планеты пренебречь нельзя, то она добавляется в знаменатель уравнения:

Эта же формула справедлива не только для Земли, но и для других планет и их спутников.

Вес тела — эта сила, с которой тело, вследствие своего притяжения к Земле действует на опору или подвес.

Сразу обратим ваше внимание на то, что вес тела нельзя путать с силой тяжести (и уж тем более, как это делают многие, с массой тела). Ведь сила тяжести — это гравитационная сила, которая приложена к телу в его центре тяжести. А вот вес тела — это частный случай проявления силы упругости, то есть это электромагнитная сила. И приложен он не к телу, а к опоре или подвесу. Вследствие этого, направление веса тела, не обязательно совпадает с отвесным направлением, чего не скажешь о силе тяжести.

В заключение отметим, что закон всемирного тяготения является одним из фундаментальных законов природы. Но не стоит забыть, что он был сформулирован для материальных точек. Однако, как показали расчёты, он достаточно точно выполняется и для однородных тел шарообразной формы, даже если их нельзя принять за материальные точки. А также при взаимодействии сферического тела произвольного размера с телом произвольной формы небольших размеров, находящегося вблизи поверхности сферы.

Для астрономических объектов закон всемирного тяготения выполняется всегда. Но для тел, находящихся сравнительно близко друг к другу (например, Земли и Луны), точные измерения обнаруживают небольшие отклонения.