Параллелепипед

Материал урока.

Прежде чем приступить к изучению нового материала, давайте вспомним, какая фигура называется тетраэдром, вспомним элементы тетраэдра и виды тетраэдра.

С параллелепипедом мы уже знакомы. Напомним, что в курсе геометрии базовой школы мы определяли параллелепипед как четырехугольную призму, основаниями которой являются параллелограммы.

Сегодня мы дадим немного другое определение параллелограмма.

Рассмотрим два равных параллелограмма ABCD и A₁B₁C₁D₁, которые расположены в параллельных плоскостях так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁ параллельны.

Получили четырехугольники ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁. Рассмотрим один из этих четырехугольников. Например, четырехугольник ABB₁A₁. Стороны AA₁ и BB₁ параллельны по условию. По свойству параллельных плоскостей стороны AB и A₁B₁ параллельны. То есть, четырехугольник ABB₁A₁ – параллелограмм, аналогично, параллелограммами будут каждый из четырехугольников BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁.

Поверхность, составленная из двух равных параллелограммов ABCD и A₁B₁C₁D₁ и четырех параллелограммов ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁называется параллелепипедом и обозначается так: ABCDA₁B₁C₁D₁

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями.

На рисунке изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Обратите внимание, все шесть граней параллелепипеда – параллелограммы.

Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда, а их вершины – вершинами параллелепипеда. Две грани параллелепипеда называются противолежащими, если они не имеют общего ребра. Например, грани AA₁B₁B и DD₁C₁C – противолежащие.

Грани имеющие общее ребро называются смежными. Например, грани AA₁D₁D и DD₁C₁C – смежные, ребро DD₁ у них общее.

Иногда какие-нибудь две противолежащие грани параллелепипеда выделяются и называются основаниями, тогда остальные грани – боковыми гранями, а их стороны, соединяющие вершины оснований параллелепипеда, - его боковыми ребрами. В нашем случае у параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ грани ABCD и A₁B₁C₁D₁– его основания. Остальные же грани являются боковыми гранями.

Две вершины, которые не принадлежат одной грани, называются противоположными.

Отрезок, который соединяет противоположные вершины, называется диагональю параллелепипеда. Соответственно у параллелепипеда есть четыре диагонали.

То есть, если в качестве оснований выбрать грани ABCDиA₁B₁C₁D₁, то боковыми гранями будут параллелограммы ABB₁A₁, BCC₁B₁, CDD₁C₁, DAA₁D₁, а боковыми рёбрами будут отрезки AA₁, BB₁, CC₁, DD₁.

Мы уже знаем, как изображается параллелепипед. Как и в прочих пространственных фигурах, невидимые рёбра и другие отрезки изображаются штриховыми линиями.

Со свойствами параллелепипеда мы уже знакомы. Повторим их еще раз и докажем с учетом нового определения параллелепипеда.

Первое свойство звучит так: противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны. Сразу отметим, что две грани параллелепипеда будут параллельны, если их плоскости параллельны.

Докажем, например, параллельность и равенство граней ABB₁A₁ и DCC1D₁ параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁. Поскольку эти грани являются параллелограммами, то можно записать, что AB параллельно DC и AA₁ параллельно DD₁. То есть две пересекающиеся прямые AB и AA₁ одной грани соответственно параллельны двум пересекающимся прямым CD и DD₁ другой грани. Значит, по признаку параллельности плоскостей получим, что грани ABB₁A₁ и DCC₁D₁ параллельны.

Поскольку все грани параллелепипеда – параллелограммы, то можно записать, что AB равно DC и AA₁равно DD₁. По этой же причине стороны углов A₁AB и D₁DC соответственно сонаправлены, и, значит, эти углы равны. Таком, образом мы доказали, что две смежные стороны и угол между ними параллелограмма ABB₁A₁ соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма DCC₁D₁, поэтому параллелограммы ABB₁A₁ и DCC₁D₁ равны.

Перейдем ко второму свойству. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам.

Доказательство этого утверждения основывается на следующем факте: если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Мы знаем, что диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.

Итак, на экране изображен прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Поскольку грани ABCDи AA₁D₁D – параллелограммы, то BC параллельно AD, BC равно AD, A₁D₁ параллельно AD, A₁D₁ равно AD. Из этого следует, что A₁D₁ параллельно BC и A₁D₁ равно BC. Поэтому четырехугольник A₁D₁CB – параллелограмм. А значит, его диагонали A₁C и D₁B пересекаются в некоторой точке О и делятся этой точкой пополам. Заметим, что эти же диагонали A₁C и D₁B являются также диагоналями параллелепипеда.

Поскольку грани ABCDиDD₁C₁C– параллелограммы, то AB параллельно CD, AB равно CD, C₁D₁ параллельно CD, C₁D₁ равно CD. Из этого следует, что C₁D₁ параллельно AB и C₁D₁ равно AB. Поэтому четырехугольник C₁D₁AB – параллелограмм. И, следовательно, его диагонали C₁A и D₁B пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали D₁B является точка О. Таким образом, диагонали A₁C, D₁B и C₁A параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам.

Поскольку грани ABCDи AA₁B₁B – параллелограммы, то CD параллельно AB, CD равно AB, A₁B₁ параллельно AB, A₁B₁ равно AB. Из этого следует, что A₁B₁ равно CD и A₁B₁ параллельно CD. Поэтому четырехугольник A₁B₁CD – параллелограмм. И, следовательно, его диагонали A₁C и B₁D пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Но серединой диагонали A₁C является точка О. Таким образом, все четыре диагонали A₁C, B₁D, C₁A и D₁B параллелепипеда пересекаются в точке О и делятся этой точкой пополам. Что и требовалось доказать.

Слово параллелепипед происходит от древнегреческих слов паралелос – параллельный, и епипед – плоскость.

Если все боковые ребра параллелепипеда перпендикулярны к плоскостям его оснований, т. е. боковые грани – прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямым.

Если параллелепипед не является прямым, то есть если все его боковые ребра не перпендикулярны к плоскостям оснований, то он называется наклонным.

Если же и основаниями прямого параллелепипеда служат прямоугольники, то такой параллелепипед называется прямоугольным.

Параллелепипед очень часто встречается в жизни, практически все здания имеют форму параллелепипеда. И многие предметы имеют форму параллелепипеда.

Решим несколько задач.

Задача. Дан параллелепипед . Доказать, что диагональ  параллельна .

Доказательство.

Что и требовалось доказать.

Задача. Сумма всех рёбер параллелепипеда  равна  cм. Найдите каждое ребро параллелепипеда, если , а .

Решение.

Из соотношений выразим длины ребер AB и BB1 через длину ребра BC.

Получим, что ABравно , BB₁ равно .

У параллелепипеда двенадцать ребер, из них четыре ребра равны ребру AB, четыре ребра равны ребру BB₁, четыре ребра равны ребру BC. Заменим ребра AB и BB₁ и их выражением через ребро BC, получим, что 12BC=120. Тогда получим, что длина ребра BC= 10. Подставим это значение в формулу для нахождения длин ребер AB и BB1, получим, что AB= 8, а BB₁= 12.

Кратко запишем решение задачи.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы познакомились с еще одним пространственнымтелом – параллелепипедом. Познакомились с элементами параллелепипеда, решили несколько задач по данной теме.