Довольно часто в практической деятельности человека, например, в строительстве или при изготовлении мебели, возникает необходимость вычисления длин сторон прямоугольного треугольника.
На этом уроке мы сформулируем и докажем теорему, которая устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника.
Теорему связывают с именем древнегреческого учёного Пифагора, который жил примерно в 6 веке до нашей эры, и называют теоремой Пифагора. По мнению историков, теорема была известна задолго до Пифагора, но именно он нашёл её доказательство.
Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а и b и гипотенузой c. Докажем, что .
Достроим этот треугольник до квадрата со стороной a+b вот таким образом:
Площадь получившегося квадрата будет равна .
Этот квадрат состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников, катеты которых равны a и b, а тогда площадь каждого из них будет равна половине произведения длин их катетов, то есть , .
.
,
,
,
.
Что и требовалось доказать.
Мы с вами познакомились только с одним из доказательств теоремы, а их существует огромное количество.
Давайте решим несколько задач на применение теоремы Пифагора.
Задача. Длина одного из катетов прямоугольного треугольника равна см, длина второго – на см больше. Найдите длину гипотенузы треугольника.
Решение.
см, (см).
,
,
,
см.
Ответ: см.
Задача. Найдите высоту равностороннего треугольника , если его сторона равна см.
Решение.
Проведём в треугольнике высоту BE и рассмотрим прямоугольный треугольник ABE.
см,
,
(см).
,
,
,
,
(см).
Ответ: см.
Задача. Найдите площадь прямоугольного треугольника , если , а катет см.
Решение.
,
.
.
,
,
,
,
,
,
(см).
,
(см2).
Ответ: см2.
Задача. Найдите длину большей боковой стороны прямоугольной трапеции, если её площадь равна см2, длина большего основания равна см, а высота – см.
Решение. Возьмём прямоугольную трапецию ABCD.
см2,
см,
см.
,
,
,
(см).
– прямоугольник,
значит, см.
,
см.
,
,
(см).
Ответ: см.
Итак, на этом уроке мы доказали важнейшую теорему геометрии – теорему Пифагора, в которой говорится, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.