Линейное уравнение с одним неизвестным

Вопросы занятия:

·  вспомнить основные понятия, связанные с уравнениями такого типа;

·  рассмотреть некоторые задания на применение знаний по данной теме.

Материал урока

Определение.

Для начала давайте вспомним, что равенство, содержащее одну переменную, называется уравнением с одной переменной. Переменную в уравнении называют также неизвестным.

Значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство, называется корнем (или решением) уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все его корни или доказать, что их нет.

Выполним простое задание.

Ответить на вопрос: является ли число 5 корнем уравнения?

Решение:

Следует также знать, что два уравнения называются равносильными, если каждый корень первого уравнения является корнем второго, и наоборот – каждый корень второго уравнения является корнем первого, то есть, оба уравнения имеют одни и те же корни.

Равносильными являются также уравнения, которые не имеют корней.

Например, уравнения

равносильны, так как оба имеют один корень, равный 3.

Задание.

Заменить уравнение:  равносильным ему уравнением с целыми коэффициентами.

Чтобы заменить данное уравнение равносильным, но с целыми коэффициентами, умножим левую и правую части на 10. В результате получим:

А теперь вспомним основные свойства, которые используют при решении уравнений.

Итак, первое свойство: если в уравнении перенести слагаемое из одной части в другую, изменив его знак на противоположный, то получится уравнение, равносильное данному.

Например,

Второе свойство: если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнения, равносильное исходному.

Например,

А теперь давайте перейдём к линейным уравнениям с одной неизвестной.

Определение.

Итак, линейным уравнением с одной переменной (с одним неизвестным) называется уравнение вида:

где  и  – постоянные,  – переменная (неизвестное).

Если в уравнении : , то это уравнение называется уравнением первой степени.

Давайте решим уравнение .

Возможны три случая.

Задание.

Решить уравнения:

а) ;              б) ;                 в) ;         г) .

Первое уравнение: .

Следующее уравнение: .

Напомним, что уравнения такого вида имеют бесконечно много корней. А значит, решением исходного уравнения является любое число.

Следующее уравнение: .

Обратите внимание, какое бы число мы не подставили вместо у, всегда будем получать неверное равенство. Следовательно, данное уравнение не имеет корней.

И решим последнее уравнение: .

Т.е. наше уравнение имеет единственный корень, который равен 6.

Итоги урока

На этом уроке мы рассмотрели тему «линейное уравнение с одним неизвестным». Вспомнили основные понятия, связанные с уравнениями такого типа. А также рассмотрели некоторые задания на применение знаний по данной теме.