Аксиомы стереометрии

Материал урока.

На прошлом уроке мы познакомились с разделом геометрии – cтереометрия. Мы сказали, что основными фигурами стереометрии являются точка, прямая и плоскость. Мы вспомнили, как обозначаются точки, прямые, плоскости. Давайте еще раз повторим, что точки обозначаются заглавными буквами латинского алфавита, прямые обозначаются строчными буквами латинского алфавита, плоскости обозначаются строчными буквами греческого алфавита. Плоскость может изображаться разными способами, но чаще всего она изображается параллелограммом. Представление о плоскости дают нам ровные поверхности, например, лист бумаги или школьная доска.

Как правило, такие предметы имеют прямоугольную форму, но если посмотреть на эти предметы под углом и на большом расстоянии, то они покажутся нам параллелограммами. Поэтому чаще всего, плоскости изображают параллелограммами или просто в виде произвольной области.

Сразу оговоримся, что хоть плоскость и изображается параллелограммом, но она понимается неограниченной во все стороны.

Очевидно, что в любой плоскости лежат какие-то точки пространства, но не все точки пространства лежат в одной и той же плоскости.

Например, на нашем рисунке изображена плоскость и несколько точек.

Легко заметить, что точки A и B лежат на плоскости α, а точки C, D, E – не лежат на этой плоскости. Математически это можно записать так:

Когда мы с вами начинали изучать планиметрию, мы начинали с аксиом планиметрии. Напомним, что аксиома – утверждение, не требующее доказательства. В аксиомах стереометрии выражаются основные свойства точек, прямых и плоскостей, которые касаются их взаимного расположения.

Прежде всего, давайте определим, сколько точек надо взять, чтобы плоскость задавалась однозначно. Если мы возьмем одну точку, то через нее можно провести не менее двух плоскостей, то есть одна точка не задает однозначно плоскость.

Возьмем две точки. Согласно аксиомам планиметрии, через две точки можно провести прямую и притом только одну, то есть две точки однозначно задают только прямую. Через эту прямую можно провести не менее двух плоскостей, то есть и две точки не задают однозначно плоскость.

Теперь давайте посмотрим на дверь. Она крепится к стене с помощью петель. И относительно петель поворачивается. Если петли обозначить точками и провести через них прямую, а полотно двери обозначить за плоскость, то получим, что плоскость поворачивается относительно прямой. Теперь давайте дверную ручку обозначим за точку, тогда получим, что прямая и одна точка задают плоскость, причем однозначно. То есть плоскость однозначно задается тремя точками. Об этом и говорит первая аксиома.

Итак, сформулируем первую аксиому. Для удобства аксиомы мы будем обозначать большой буквой А с нижним индексом, который будет обозначать номер аксиомы.

A1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Доказательство.

Давайте теперь схематично изобразим эту аксиому. Отметим произвольные точки A, B, C, которые не лежат на одной прямой, и проведем плоскость α.

Тогда можно записать, что каждая из этих точек принадлежит плоскости α. Аксиома утверждает, что такая плоскость единственная.

Примером этой аксиомы может служить детский велосипед с тремя колесами. Если мы обозначим место соприкасания колес с дорожкой точкой, то получим три точки, которые задают плоскость дорожки. Благодаря этому трехколесный велосипед устойчиво стоит на дорожке.

Перейдем ко второй аксиоме.

A₂. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. Тогда говорят, что прямая лежит в плоскости или плоскость проходит через прямую.

Схематически аксиому можно изобразить так. Изобразим точки Aи B и проведем через них прямую a и плоскость α.

Тогда можно записать, что если точки A и B принадлежат прямой a и плоскости α, то прямая a лежит в плоскости α. Записывается это так:

Давайте сразу определимся в каком случае какой символ принадлежности надо писать. Если речь идет о принадлежности точки чему-то, то пишем такой символ. Если мы говорим о принадлежности прямой чему-то, то тогда надо писать такой символ.

Вторую аксиому можно использовать для проверки ровности стола. Для этого надо взять линейку и приложить ее краем к поверхности стола, если поверхность стола ровная, то просветов между линейкой и столом не будет, а если поверхность стола не совсем ровная, то будут зазоры между линейкой и столом.

Из этой аксиомы следует:

Если прямая не лежит в плоскости, то она может иметь с плоскостью не более одной общей точки.

Покажем это на чертеже. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Перейдем к следующей аксиоме.

A₃. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей. Если плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, содержащей эту точку.

Сделаем схематический рисунок этой аксиомы.

Пусть нам дана точка А и две плоскости, которые проходят через эту точку. Обозначим эти плоскости за α и β. Запишем, что если А принадлежит плоскостям α и β, то плоскости α и β пересекаются по прямой a.

Примеров этой аксиомы очень много. Например, обыкновенная открытка (здесь плоскостями будут части открытки, а линия сгиба – линией их пересечения) или стены в комнате (здесь сами стены будут плоскостями, а линия их соединения – линией их пересечения).

Вторая и третья аксиомы говорят о расположении прямых и плоскостей в пространстве. Кроме того, они выражают свойство не искривлённости прямой и плоскости. Две плоскости не могут располагаться как на рисунке, а прямая не может отклоняться от плоскости.

Отметим, что все аксиомы и утверждения планиметрии справедливы в стереометрии на каждой плоскости пространства.

Например, признаки равенства треугольников, которые мы изучали в планиметрии, справедливы и для треугольников, которые расположены в разных плоскостях.

Аналогично для треугольников, которые расположены в разных плоскостях, справедливы признаки подобия

Сейчас давайте рассмотрим обозначения, которые будут использоваться при решении задач и доказательстве теорем.

Сделаем чертеж.

На чертеже видно, что точка А лежит на прямой a. ЗаписываетсяЧитается так: точка А принадлежит прямой a или другими словами, прямая aпроходит (или проведена) через точку А.

Точка B не принадлежит прямой А. Записывается  Читается: точка B не принадлежит прямой a или, другими словами, прямая a не проходит (или не проведена) через точку B.

Теперь давайте запишем как располагаются точки А и B относительно плоскости α. Записывается это точно так же как и в случае точек и прямой a, но при прочтении слово прямой заменяется словом плоскости.

Теперь давайте посмотрим на расположение прямых и плоскости. Прямая a лежит в плоскости α. Записывается это так Читается: прямая aпринадлежит плоскости α или другими словами плоскость α проходит (проведена) через прямую a.

Прямая b не лежит в плоскости α. Записывается это так Читается: прямая b не принадлежит плоскости α или другими словами плоскость α не проходит (не проведена) через прямую b.

Теперь рассмотрим взаимное расположение прямыхa и b. Эти прямые пересекаются. Записывается это так Читается: прямая a пересекает прямую b в точке А.

Давайте построим еще одну плоскость β. Очевидно, что α и β пересекаются. Записывается это так Читается: плоскость альфа пересекает плоскость β по прямой c.

Выполним задание. Прочитать записи и сделать схематический рисунок.

В первом случае прочитать записи можно так: плоскость α проходит через точку А и прямую a, но точка А не принадлежит прямой a.

Сделаем схематичный рисунок. Изобразим плоскость α и отметим на ней прямую a и точку А так, чтобы точка А не лежала на прямой a.

Во втором случае прочитать записи можно так: прямая a пересекает плоскость α в точке А, прямая b пересекает плоскость α в точке В.

Сделаем схематичный рисунок. Изобразим плоскость альфа и проведем прямые a и b так, чтобы они пересекали плоскость α соответственно в точках А и B.

Мы знаем, что помимо строчных букв латинского алфавита прямые могут обозначаться двумя заглавными буквами, которые соответствуют точкам, лежащим на прямой. Аналогично и плоскости могут называться тремя заглавными буквами латинского алфавита, которые соответствуют точкам, которые задают плоскость. Например, плоскость на рисунке можно назвать плоскость альфа или плоскость ABC.

Решим еще одну задачу.

Решение.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы сформулировали основные аксиомы стереометрии. Показали, как записываются и читаются некоторые математические символы.