Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница

Вопросы занятия:

• показать геометрический смысл определённого интеграла;

• показать физический смысл определённого интеграла;

• рассказать историю интегрального исчисления;

• ввести формулу Ньютона-Лейбница.

Материал урока

Давайте рассмотрим задачу.

Пусть в декартовой прямоугольной системе координат дана фигура:

Такую фигуру мы назовем криволинейной трапецией. Требуется вычислить площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим еще одну задачу.

Пусть дан прямолинейный неоднородный стержень.

Нам надо найти массу стержня.

Рассмотрим еще одну задачу.

Пусть по прямой неравномерно движется материальная точка. Зависимость скорости от времени выражается формулой v = v(t). Надо найти перемещение точки за промежуток времени [a; b].

Итак, при решении каждой задачи, мы получали одну и ту же математическую модель. Задач, которые приводятся к этой же математической модели довольно много. Поэтому возникла необходимость специально изучить данную математическую модель, то есть присвоить ей новый термин, ввести для нее обозначение, научится с ней работать.

Давайте еще раз дадим математическое описание той модели, которую мы использовали в задачах:

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его обозначают так

Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно верхним и нижним). Здесь dx – замена Δx, длин кусочков из которых состоит целое.

Согласно интернет энциклопедии Википедии интегрирование прослеживалось еще в Древнем Египте, примерно в 1800 году до нашей эры. Первым известным методом для расчета интегралов является метод исчерпывания Евдокса, который пытался найти площади и объемы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объем уже известны. Это метод был подхвачен и развит Архимедом. Аналогичные методы были разработаны независимо в Китае в третьем веке нашей эры.

Следующий шаг в исчислении интегралов был сделан в Ираке в одиннадцатом веке математиком Ибн аль-Хайсамом. В своей работе «Об измерении параболического тела» он приходит к уравнению четвертой степени. Решая эту проблему, он проводит вычисления, равносильные вычислению определенного интеграла, чтобы найти объем параболоида.

Следующий значительный прогресс в исчислении интегралов появился в шестнадцатом веке. В работах Кавальери с его методом неделимых, а также в работах Ферма, были заложены основы современного интегрального исчисления. Дальнейшие шаги были сделаны в начале семнадцатого века Барроу и Торичелли, которые представили первые намеки на связь между интегрированием и дифференцированием.

В качестве символа интегрирования, Ньютон использовал значок квадрата перед обозначением функции или вокруг него, но эти обозначения не получили широкого распространения. Современное обозначение было введено Лейбницем в 1675 году. Он образовал интегральный символ из длинной буквы S – сокращения латинского слова сумма. Современное обозначение определенного интеграла, с указанием пределов интегрирования, были впервые предложены Жаном Батистом Жозефом Фурье в 1820.

Введя понятие определенного интеграла, мы можем переписать формулы, полученные при решении наших задач.

Площадь криволинейной трапеции можно найти так:

В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение массы прямолинейного неоднородного стержня с плотностью ро от икс можно вычислить так:

В этом заключается физический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения материальной точки, движущейся по прямой со скоростью v(t), за промежуток времени [a; b] можно записать так:

Это еще одно физическое истолкование определенного интеграла.

Давайте еще раз вернемся к третьей задаче.

Мы записали, что перемещение точки, которая движется со скоростью v(t), за промежуток времени [a; b]  вычисляется по формуле:

С другой стороны, координата движущейся точки – это первообразная для скорости:

В курсе математического анализа доказана следующая теорема:

В 1708 году вспыхнул печально известный спор Лейбница с Ньютоном о научном приоритете открытия дифференциального исчисления. Известно, что Лейбниц и Ньютон работали над дифференциальным исчислением. Известно также, что Ньютон создал свою версию математического анализа, «метода флюксий», хоть и опубликовал свои результаты лишь много лет спустя; Лейбниц же первым опубликовал исчисление бесконечно малых и разработал символику, которая оказалась настолько удобной, что ее используют и на сегодняшний день.

Поэтому эту формулу называют формулой Ньютона – Лейбница. На практике вместо разности пишут так:

Такую запись иногда называют двойной подстановкой.

Рассмотрим пример.

Рассмотрим еще один пример.

Давайте попробуем найти некоторые свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов.

Докажем это свойство.

Рассмотрим пример.

Свойство 2.

Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.

Рассмотрим пример.