Прежде, чем познакомиться с третьим признаком подобия треугольников, вспомним известные нам первый и второй.
Итак, первый признак подобия треугольников: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Второй признак подобия треугольников: если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы между ними равны, то такие треугольники подобны.
Ну а теперь сформулируем третий признак подобия треугольников.
Теорема (3-й признак подобия треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Доказательство.
.
, , тогда по 1-му признаку.
.
Получаем, что , .
Тогда по 3-му признаку.
Следовательно, .
Так как , то .
Следовательно, .
Что и требовалось доказать.
Давайте найдём среди следующих треугольников подобные.
У каждого из треугольников известны длин трёх его сторон, а тогда воспользуемся только что доказанным третьим признаком подобия треугольников.
Посмотрим внимательно на значения их длин и заметим, что стороны треугольника а пропорциональны сторонам треугольника в, а значит, эти треугольники подобны. При этом коэффициент подобия равен 2.
Задача. Подобны ли треугольники и , если см, см, см, см, см, см?
Решение.
,
,
.
Значит, .
Следовательно, .
Ответ: .
Задача. Докажите, что прямоугольные треугольники и подобны, если стороны и треугольника соответственно равны см и см, а стороны и треугольника соответственно равны см и см.
Решение.
,,
(см).
, ,
(см).
; ; .
Значит, .
Следовательно, по 3-му признаку.
Что и требовалось доказать.
Итак, сегодня на уроке мы познакомились с ещё одним признаком подобия треугольников: если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
Также мы закрепили материал на практике.