Сочетания и их свойства

Сегодня на уроке мы вспомним, какие соединения называют размещениями. Выясним, какие соединения называют сочетаниями. Выведем формулу для подсчёта числа сочетаний. Познакомимся со свойствами сочетаний.

Прежде чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним, что размещениями из  элементов по  элементов () называются такие соединения, каждое из которых содержит  элементов, взятых из данных  разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Формула для вычисления числа размещений из  элементов по  элементов имеет вид: . При этом , .

Теперь давайте с вами решим задачу. Из пяти шахматистов для участия в турнире надо выбрать двоих. Сколькими способами это можно сделать?

Итак,  – число всевозможных пар, которые можно составить из пяти шахматистов. Но из этих пар надо выбрать только те, которые различаются только составом участников. И таких пар в 2 раза меньше, поэтому .

Таким образом, 10 способами можно выбрать двоих из пяти шахматистов для участия в турнире.

При решении задачи из 5 человек были образованы пары – соединения по 2 человека, которые отличались друг от друга только составом. Такие соединения называют сочетаниями.

Сформулируем определение. Сочетаниями из  элементов по  элементов в каждом (где ) называются соединения, каждое из которых содержит  элементов, взятых из данных  разных элементов, и которые отличаются одно от другого по крайней мере одним элементом.

Число всевозможных сочетаний из  различных элементов по  элементов обозначают  и читают так: ЦЭ из ЭМ по ЭН.

 – первая буква французского слова, которое переводится как «сочетание».

Так, при решении предыдущей задачи было установлено, что .

Далее мы с вами выведем формулу для подсчёта числа сочетаний из  различных элементов по  элементов в каждом.

Число всех соединений, содержащих  элементов, выбранных из данных  разных элементов, без учёта порядка их расположения равно .

Из каждого полученного соединения перестановками его элементов можно образовать  соединений, которые отличаются одно от другого только порядком расположения элементов. Тем самым получаются размещения из  элементов по , число которых равно . По правилу произведения число таких соединений равно .

Таким образом, имеет место равенство , из которого получаем, что .

Например,

Заметим, что если , то формула примет вид .

Мы знаем, что  при , . Тогда полученную формулу можно представить в виде , где .

Например,

Решим задачу. Сколькими способами из 25 учеников класса можно выбрать на конференцию двух делегатов?

Решение.

Сейчас давайте рассмотрим два свойства сочетаний, которые часто упрощают вычисления при решении задач.

Свойство первое.

Докажем это свойство.

Свойство второе.

Докажем это свойства.

Доказанное свойство называют рекуррентным свойством.

Давайте найдём значение выражения .

А сейчас выполним несколько заданий.

Задание первое. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

Решение.

Задание второе. В помещении 20 ламп. Сколько существует разных вариантов освещения, при котором должны светиться только 18 ламп?

Решение.

Задание третье. Найдите значения выражений:

а) ; б) .

Решение.