Элементы симметрии правильных многогранников

Материал урока.

Давайте еще раз вспомним, какие многогранники называются правильными.

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число ребер.

Существует только пять правильных многогранников: правильный тетраэдр, правильный гексаэдр или куб, правильный октаэдр, правильный икосаэдр, правильный додекаэдр.

Теперь вспомним, основные виды симметрии: центральная – симметрия относительно точки, осевая – симметрия относительно прямой, зеркальная – симметрия относительно плоскости.

Еще вспомним, что элементами симметрии многогранника называют центр симметрии, ось симметрии, плоскость симметрии.

На сегодняшнем уроке мы попробуем подсчитать, сколько элементов симметрии есть у каждого из правильных многогранников.

Начнем мы с правильного тетраэдра.

У правильного тетраэдра нет центра симметрии.

Осью симметрии правильного тетраэдра является прямая, проходящая через середину двух противоположных ребер. То есть правильный тетраэдр имеет три оси симметрии.

Плоскостью симметрии правильного тетраэдра будет плоскость, проходящая через ребро, перпендикулярно к противоположному ребру. То есть правильный тетраэдр имеет шесть плоскостей симметрии.

Теперь перейдем к кубу или правильному гексаэдру.

Центром симметрии куба является точка пересечения его диагоналей.

Осями симметрии будут прямые, которые проходят через центры противоположных граней или середины противоположных ребер. Поскольку грани гексаэдра – квадраты, значит, оси симметрии будут проходить через точки пересечения диагоналей противоположных граней. То есть у куба девять осей симметрии. Все оси симметрии проходят через центр симметрии.

Проводя через каждые две оси симметрии плоскость, мы получим плоскость симметрии куба. То есть у куба девять плоскостей симметрии.

Теперь давайте перейдем к правильному октаэдру.

Но начнем мы не с центра симметрии, а с осей симметрии. Осями симметрии правильного октаэдра будут прямые, которые проходят через противоположные вершины октаэдра и прямые, которые проходят через середины противоположных ребер. То есть у октаэдра девять осей симметрии.

Точка пересечения осей симметрии октаэдра будет центром симметрии.

Плоскостями симметрии октаэдра будут плоскости, которые проходят через каждые четыре вершины октаэдра. Таких плоскостей три. И плоскости, которые проходят через две вершины, не лежащие в одной грани, и середины противоположных ребер. Таких плоскостей шесть. То есть у правильного октаэдра девять плоскостей симметрии.

Теперь давайте рассмотрим правильный додекаэдр.

Осями симметрии додекаэдра будут прямые, проходящие через середины противоположных параллельных ребер. Их пятнадцать. То есть у правильного додекаэдра пятнадцать осей симметрии.

Центром симметрии правильного додекаэдра будет точка пересечения всех осей симметрии.

Плоскости, проходящие в каждой грани через вершину и середину противолежащего ребра будут плоскостями симметрии.

Таких плоскостей пятнадцать. То есть у правильного додекаэдра пятнадцать плоскостей симметрии.

Теперь перейдем к правильному икосаэдру.

Осями симметрии правильного икосаэдра являются прямые, которые проходят через середины противолежащих параллельных ребер. Таких прямых пятнадцать. То есть у правильного икосаэдра пятнадцать осей симметрии.

Центром симметрии правильного икосаэдра является точка пересечения всех осей симметрии.

Плоскости симметрии правильного икосаэдра проходят через четыре вершины, которые лежат в одной плоскости, и середины противоположных ребер. Таких плоскостей пятнадцать. То есть у правильного икосаэдра пятнадцать плоскостей симметрии.

Подведем итоги урока. Сегодня на уроке, мы рассмотрели элементы симметрии правильных многогранников.