Понятие вектора

Материал урока.

Вы уже знакомы с векторами из курса планиметрии. Но, так как мы приступили к изучению стереометрии, то теперь из плоскости выходим в пространство. Сразу стоит отметить, что понятие вектора в пространстве вводится также как и на плоскости.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой — концом, называется вектором. При этом направление отрезка указывается стрелкой.

Есть два способа обозначения векторов: двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, где первая буква указывает на начало вектора, а вторая на конец; а так же одной строчной латинской буквой со стрелкой над ней.

Любая точка пространства также является вектором. Такой вектор называют нулевым. Так как у него начало совпадает с концом, то он не имеет конкретного направления.

В данном случае изображен нулевой вектор ММ.

Длина ненулевого вектора АB равна длине отрезка АB. А длина нулевого вектора всегда равна нулю.

Точно также как и на плоскости, векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными. При этом нулевой вектор коллинеарен любому вектору.

Если коллинеарные векторы имеют одинаковое направление, то их называют сонаправленными.

Если же векторы имеют противоположные направления, то их называют противоположно направленными.

Из-за того что нулевой вектор не имеет определённого направления, он является сонаправленным с любым вектором.

В данном случае сонаправленными будут  и . А также нулевой вектор будет сонаправлен каждому из данных векторов.

Сонаправленность векторов обозначают таким символом  ↑↑.

Противоположно направленными в нашем случае будут  и , а также  и . Противоположно направленные векторы обозначают таким символом ↑↓.

Выполним задание. ABCDA₁B₁C₁D₁ — параллелепипед, в котором точки М и K середины сторон B₁C₁ и A₁D₁ соответственно.

Среди векторов, изображённых на рисунке, нам предстоит найти пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Итак, перед нами параллелепипед. А это значит, что все грани данного многогранника являются параллелограммами. И рёбра AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ параллельны. А на них изображены векторы  и . Не вызывает сомнений, что они коллинеарны. И так как они направлены в противоположные стороны, то являются противоположно направленными.

Так же параллельными будут ребра AD, BC, A₁D₁ и B₁C₁. Среди векторов, проведённых на этих рёбрах, сонаправленными будут  

Вектор  будет противоположно направленным к векторам ,  и .

Параллельными также будут рёбра AB, CD, A₁B₁ и C₁D₁. На них изображены векторы  и . По рисунку понятно, что они противоположно направлены.

Среди четырёх оставшихся векторов коллинеарными будут только векторы  и . Они же будут и сонаправленными.

Так мы с вами нашли 4 пары сонаправленных векторов и 5 пар противоположно направленных векторов.

Задача.  тетраэдр. Точки ,  и  являются серединами сторон ,  и .

, , а . Определить длины векторов:

а) , , , , , ;

б) , , , , .

Решение.

Запишем ответ.

Выполним последнее задание.

Задача. Измерения прямоугольного параллелепипеда

равны соответственно 8 см, 9 см и 12 см. Найти длины векторов:

а) , , ;

б) , , .

Решение.

Ответ. 12 см, 8 см, 9 см; 15 см,  см, 17 см.

Подведём итоги нашего урока.

Сегодня, основываясь на знаниях о векторах из курса планиметрии, мы ввели понятие вектора в пространстве.

Отрезок, для которого указано, какой из его концов является началом, а какой — концом, называется вектором. Любая точка плоскости также является вектором, нулевым вектором.

Длина ненулевого вектора  AB равна длине отрезка AB. Длина нулевого вектора равна нулю.

Векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых, называют коллинеарными. При этом, если они одинаково направлены, то их называют сонаправленными. Если же коллинеарные векторы противоположно направлены, то их называют противоположно направленными.

Все эти знания мы с вами смогли применить при решении задач.