Задачи на движение в противоположных направлениях

А давайте с вами заглянем в семью Прошкиных и посмотрим, что у них происходит.

Этого мальчика зовут Денис. Это дедушка Дениса. Интересно, а почему Денис так странно себя ведёт?

– Денис, что случилось? Ты чего ходишь туда сюда?

– Понимаешь, дедушка. Мне в классе нравится одна девочка, Аня. И она попросила, чтобы я научил её решать задачи на движение в противоположных направлениях. А как я могу её научить, если я сам не умею решать такие задачи?

– Как тебе повезло, что у тебя такой умный дедушка. Я, между прочим, увлекаюсь решением задач по математике. Так что своего внука я легко смогу научить решать такие задачи.

Итак, слушай внимательно первую задачу.

Из дома № 75 одновременно вышли два брата-спортсмена и пошли в противоположных направлениях. Скорость движения Лёши 6 км/ч, а Кости – 5 км/ч. На каком расстоянии друг от друга будут братья через 4 часа?

Обрати внимание на слова «в противоположных направлениях». Эти слова говорят о том, что задача на движение в противоположных направлениях.

Давай выполним рисунок к этой задаче.

Точкой обозначим дом, из которого вышли братья, стрелочками укажем направление их движения, а так же укажем скорость их движения.

Чтобы найти расстояние, на котором будут братья через 4 часа, надо знать расстояние, которое пройдёт каждый из них за это время. А ты знаешь, как найти расстояние?

– Знаю, чтобы найти расстояние надо скорость умножить на время.

– Молодец. Правильно. Нам известны скорость, с которой двигался Лёша – 6 км/ч, и время, которое он находился в пути – 4 часа. Значит, мы можем найти расстояние, пройденное Лёшей? Так как мы его найдём?

– Надо его скорость 6 км/ч, умножить на время 4 часа. Получается 24 км прошёл Лёша.

1) 6 ∙ 4 = 24 (км)

И точно так же мы можем узнать, сколько прошёл его брат, Костя. Его скорость 5 км/ч умножим на время в пути 4 ч. Получается Костя прошёл 20 км.

2) 5 ∙ 4 = 20 (км)

Ну, узнали мы, сколько прошёл Лёша и Костя, а дальше что?

– А теперь, когда мы знаем, сколько прошёл каждый из братьев отдельно, можем узнать, расстояние между ними.

3) 24 + 20 = 44 (км)

Ответ: через 4 часа братья будут друг от друга на расстояние 44 километра.

– Ну, мне всё понятно. Я пошёл к Ане, объяснять решение таких задач.

– Подожди. Не торопись. Эту задачу можно решить и другим способом. Вернёмся к нашему рисунку.

Смотри, за один час Лёша отдалился от дома на 6 км, за этот же час Костя отдалился на 5 км. И за это время они отдалились друг от друга на расстояние, равное сумме этих двух чисел. Только это не расстояние. Ведь отдалились они друг от друга за 1 час. Значит, – это скорость их удаления, а точнее, «скорость отдаления» друг от друга.

1) 6 + 5 = 11 (км/ч) – скорость отдаления братьев друг от друга за 1 час

– Ага, если мы знаем, на сколько километров они отдалились друг от друга за 1 час, значит, на сколько они отдалились друг от друга за 4 часа, можно узнать… м–м–м... действием умножения.

2) 11 · 4 = 44 (км)

Ответ: через 4 часа братья будут друг от друга на расстояние 44 километра.

Я надеюсь, ещё одного способа решения таких задач нет? И я уже могу идти?

– Способов больше нет…. Но я считаю, что учить других ты ещё не готов. Знаешь такую поговорку «Поспешишь – людей насмешишь». Вот попробуй решить такую задачу.

Из центра города Н выехали одновременно в противоположных направлениях король Луи и король Вилли. Средняя скорость автомобиля короля Луи 105 км/ч, а автомобиля короля Вилли – 115 км/ч. Через сколько часов расстояние между королями будет 660 км.

– Что-то я тут опять ничего не понимаю.

– Давай разбираться. Изобразим всё на рисунке.

Точкой обозначим центр города, укажем направление движения и скорости автомобилей королей. Ещё мы знаем, то через некоторое время расстояние между королями будет 660 км. И это время нам надо найти.

– Та-а-ак, наверное, сначала надо всё расстояние разделить на скорость каждого автомобиля.

1) 660 : 115 = ….м–м–м не длится. А-а-а, наверное, надо умножить….

– Подожди, не торопись. Ты сначала хорошо подумай. Обрати внимание на то, что 660 км – это расстояние, которое проехали два автомобиля вместе, а ты собираешься делить по отдельности на скорость первого короля и второго. Если расстояние совместно пройдено, то и скорость должна быть совместная.

Для того чтобы найти время, надо знать расстояние и скорость обоих автомобилей вместе. Мы знаем, что за каждый час один автомобиль отдаляется от города на 105 км, а второй за этого же время – на 115 км. Т.е. они отдаляются за каждый час друг от друга на сумму этих расстояний.

1) 105 + 115 = 220 (км/ч) – скорость отдаления

А раз мы знаем скорость отдаления и всё расстояние пройденное автомобилями, то именно теперь мы можем найти их время в пути. Для этого надо расстояние разделить на скорость отдаления.

2) 660 : 220 = 3 (часа)

Ответ: через 3 часа расстояние между королями будет 660 км.

– А–а–а, теперь я понял свою ошибку. Сначала надо было найти скорость отдаления обоих королей, а затем уже расстояние делить на скорость отдаления.

– Ну, раз ты понял свою ошибку, тогда слушай ещё одну задачу.

От острова одновременно отплыли два корабля в противоположных направлениях. Через 6 часов расстояние между ними было 750 километров. Первый корабль плыл со скоростью 55 км/ч. С какой скоростью плыл второй корабль?

– Да-а-а, интересная задача. Можно я сам попробую её решить.

Я понял, что лучше начать с рисунка – так нагляднее.

Точкой обозначим остров, стрелочками укажем направление движения кораблей. За 6 часов они проплыли 750 километров…

Скорость одного корабля 55 км/ч, а скорость второго корабля мне предстоит узнать.

Та-а-а-ак, чтобы найти скорость второго корабля, надо знать расстояние, которое он проплыл и время, которое он был в пути. Но, мы не знаем, какое расстояние проплыл второй корабль. Нам надо его найти. А как нам его найти? А-а-а. Нам надо знать общее расстояние, и какое расстояние проплыл первый корабль. Общее расстояние мы знаем, а расстояние, которое проплыл первый корабль, мы узнаем, умножив его скорость на время в пути.

1) 55 · 6 = 330 (км) – проплыл первый корабль за 6 часов

Мы знаем всё расстояние и ту его часть, которую проплыл первый корабль. И теперь мы можем узнать, какое расстояние проплыл второй корабль за 6 часов.

2) 750 – 330 = 420 (км) – проплыл второй корабль за 6 часов

Нам известно расстояние, которое проплыл второй корабль и время. Значит, мы легко можем узнать скорость второго корабля. Для этого надо расстояние разделить на время, которое он был в пути.

3) 420 : 6 = 70 (км/ч)

Ответ: скорость второго корабля 70 км/ч.

Ура! Ура! Я сам решил задачу на движение в противоположных направлениях.

– Ты молодец. Теперь я уверен, что ты готов к тому, чтобы учить других решать подобные задачи. Я горжусь своим внуком.