Разложение на простые множители

Вы уже знаете, что в зависимости от того, сколько делителей имеет число, натуральные числа делятся на простые и составные. Не забудем про единицу, которая не является ни простым, ни составным числом.

Кроме того, любое составное число можно разложить на 2 множителя, каждый из которых больше одного.

Например

Таким образом, исходное число 60 представлено в виде произведения чисел 2, 3, 2 и 5.

Обратите внимание, что все эти числа простые. Говорят, число 60 разложили на простые множители.

При разложении числа на простые множители произведение одинаковых множителей иногда представляют в виде степени.

Обратите внимание, получилось то же разложение, содержащие те же самые простые множители, просто в другом порядке.

Таким образом, любое составное число можно единственным образом представить в виде произведения простых множителей.

Это утверждение называется основной теоремой арифметики натуральных чисел.

Другими словами, при любом способе разложения натурального числа на простые множители получается одно и то же произведение, если не учитывать порядка записи множителей.

Например

Разложим на простые множители число 390.

Таким образом, для разложения натурального числа на простые множители можно сначала разложить число в виде произведения множителей, а затем каждый составной множитель из них разложить на простые множители.

Существует и другой способ разложения натурального числа на простые множители.

Нужно записать число, которое необходимо представить в виде произведения простых чисел.

Например,

Разложение на множители закончено.

В этой теме есть ещё несколько важных правил.

Число делится лишь на те простые числа, которые входят в состав его разложения на простые множители.

Число делится лишь на те составные числа, разложения которых на простые множители полностью в нем содержится.

Например,

Задача

Чтобы открыть сейф, нужно ввести код — число, состоящее из пяти простых чисел, записанных в порядке убывания. Все эти числа – простые делители числа 1950.

Кроме того, можно удобным способом находить произведение чисел с помощью разложения их на простые множители.

Задание

Найти произведение чисел 28 и 75.

Итоги

Разложить число на простые множители — значит записать число в виде произведения простых чисел.

Любое составное натуральное число можно представить единственным образом в виде произведения простых чисел, если не учитывать порядка записи множителей.