Первый признак равенства треугольников.

Отметим три точки А, В и С, которые не лежат на одной прямой, и соединим их отрезками. В результате получим геометрическую фигуру, которая называется треугольником.

Точки А, В, С называют вершинами треугольника, а отрезки АВ, ВС и СА - сторонами треугольника. Такой треугольник обозначают так:

Углы ВАС, СВА, АСВ называют углами треугольника АВС. Углы треугольника можно обозначить так:

Сумма длин всех сторон треугольника называется периметром треугольника:

Вспомним, что две фигуры называют равными, если их можно совместить наложением. Возьмём два равных треугольника:

Наложив их друг на друга, увидим, что они совместятся, то есть попарно совместятся их вершины и стороны. А значит, попарно совместятся и углы этих треугольников.

Следовательно, можем сказать, что если два треугольника равны, то стороны и углы одного треугольника соответственно равны сторонам и углам другого треугольника.

Также следует отметить, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон лежат равные углы, и наоборот: против соответственно равных углов лежат равные стороны. Например:

Равенство треугольников обозначают:

Исходя из рассмотренного выше, можно сказать, что равенство треугольников мы можем установить не только наложением их друг на друга, но и сравнивая их элементы.

Для установления равенства треугольников пользуются соответствующими признаками (или теоремами). Теорема - это утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений. А рассуждения называются доказательством теоремы.

Сформулируем и докажем теорему, которую называют первым признаком равенства треугольников.

Определение:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Докажем это утверждение.

Пусть АВС и А₁В₁С₁ - треугольники, у которых АВ=А₁В₁, АС=А₁С₁, угол ∠ВАС=∠В₁А₁С₁.

Так как ∠ВАС=∠В₁А₁С₁, то треугольник АВС можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместиться с вершиной А1, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи А₁В₁ и А₁С₁. Так как АВ=А₁В₁, а АС=А₁С₁, то сторона АВ совместится со стороной А₁В₁, а сторона АС - с А₁С₁. Исходя из этого точка В совместится с точкой В₁, точка С - с С₁. Следовательно, сторона ВС совместится со стороной В₁С₁.

Получили, что треугольники АВС и А₁В₁С₁ полностью совместятся, а значит, они равны. Таким образом теорема доказана.

Пример.

На рисунке АВ=ВС, АМ=CN. Необходимо доказать, что АN=СМ.

Так как АВ=АС, а АМ=CN, то ВМ=BN.

Рассмотрим два треугольника ABN и CBM:

У них АВ=ВС по условию задачи, выше мы выяснили, что ВМ=BN, а угол В является общим. А следовательно, данные треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, у них соответственные стороны и углы равны. То есть АN=СМ. Что и требовалось доказать.