Методическое пособие по математике

Уравнение линии второго порядка на плоскости.

Простейшими кривыми второго порядка являются окружность, эллипс, гипербола и парабола.

Окружность.

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от каждой из которых, к фиксированной точке плоскости, является величиной постоянной.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(а;в) и радиусом R имеет следующий вид: 

(x - a)² + (y - b)² = R²

Если центр окружности поместить в точку О(0;0), то уравнение окружности примет вид:

x² + y² = R²

Задача. Найти основные характеристики окружности, уравнение которой имеет вид:

х²+у²-4х+2у-4=0.

Решение:

Приведем уравнение окружности к каноническому виду:

(х-2)²-4+(у+1)²-1-4=0,

(х-2)²+(у+1)²=3².

Полученное уравнение является уравнением окружности с центром в точке С(2;-1) и радиусом R=3.

Ответ: С(2;-1), R=3.

Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых, к двум фиксированным точкам плоскости, является величиной постоянной.

Основными характеристиками эллипса являются:

1) большая 2а и малая 2в оси или большая а и малая в полуоси;

2) вершины эллипса А(а;0), А₁(-а;0), В(0;в), В₁(0;-в);

3) фокальное расстояние 2с (его половина);

4) фокусы F₁(с;0) и F₂(-с;0);

5) эксцентриситеты Е;

6) центр симметрии М(α;β).

Каноническое уравнение эллипса в этом случае имеет вид...

Если центр симметрии поместить в начало координат, то каноническое уравнение эллипса примет вид:

x²/b² + y²/b²= 1

Эксцентриситет Е характеризует степень "деформации" степень его отличия от окружности и выражается следующим образом:

E=c/a

Для эллипса эксцентриситет Е всегда меньше единицы. Параметры а, в и с связаны соотношением:

в²=а²-с².

Задача. Найти основные характеристики и построить эллипс, заданный уравнением:

4х²+9у²=36.

Решение:

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. Преобразуем уравнение, разделив его левую и правую часть на 36. Получим каноническое уравнение эллипса:

x²/9+y²/4=1

центр симметрии которого находится в точке О(0;0), а большая и малая полуось соответственно равны а=3 и в=2. Следовательно, вершинами эллипса будут точки А(3;0), А₁(-3;0), В(0;2), В₁(0;-2). Для определения фокусов эллипса воспользуемся соотношением: в²=а²-с².

с²=а²-в²,

с²=9-4=5,

c=(5)^1/2

Весь материал - в документе.