Л.С. Атанасян. Геометрия 10-11.
Перпендикулярные прямые в пространстве.
Две прямые в пространстве называются перпендикулярными (взаимно перпендикулярными), если угол между ними равен 90 0 .
a b, a b
c
c /
c a, c a
a
b
2
Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.
a
Дано: a ║b ; a┴ с
Доказать: b ┴c
b
Доказательство:
c
Проведем CM ║c, MA║a .
A
M
Так как a┴ с, то └ AMC=90
} =
a║b ( по условию)
MA║a .(по построению)
C
} =
MA ║b, MC║c
b┴c
MA┴MC
№ 117.
В тетраэдре АВС D ВС А D . Докажите, что А D MN , где М и N – середины ребер АВ и АС.
D
II
N
А
C
M
B
4
Определение. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.
a
a
5
Построение прямых углов на местности с помощью
простейшего прибора,
который называется экер
Треножник
с
экером
В
А
Отвес Экера перпендикулярен плоскости земли.
1
О
6
Канат в спортивном зале перпендикулярен плоскости пола.
6
№ 119. Прямая ОА OBC . Точка О является серединой отрезка А D . Докажите, что АВ = В D .
По опр.
A
O
В
Л.С. Атанасян №119.
С
D
8
№ 119. Прямая ОА OBC . Точка О является серединой отрезка А D , ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
По опр.
A
Л.С. Атанасян №119.
В
O
С
С
D
9
№ 119. Прямая ОА OBC . Точка О является серединой отрезка А D . ОВ = ОС. Докажите, что АВ = АС.
По опр.
A
Л.С. Атанасян №119.
В
O
С
С
D
10
№ 121. В треугольника АВС дано: С = 90 0 , АС = 6 см, ВС = 8 см, СМ – медиана. Через вершину С проведена прямая СК, перпендикулярная к плоскости треугольника АВС, причем
СК = 12 см. Найдите КМ.
По опр.
К
А
12 см
6см
М
Л.С. Атанасян №121.
С
8 см
В
11
№ 121. Еще один эскиз к задаче
К
12 см
С
6см
А
8 см
Л.С. Атанасян №121.
М
В
12
№ 120. Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна a , проведена прямая ОК, перпендикулярная к плоскости квадрата. Найдите расстояние от точки К до вершин квадрата, если ОК = b .
По опр.
К
b
В
С
Л.С. Атанасян №120.
a
O
А
a
D
13
Теорема: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости.
а
а 1
Дано: a ║ а 1 ; a ┴
Доказать: a 1 ┴
Доказательство:
x
х
, то a ┴ х.
Так как a ┴
Значит по лемме а 1 ┴ х
= a 1 ┴
Теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.
Дано : a┴ b┴
Доказать: a║b
M
Доказательство:
Через точку М прямой b проведем b1║a, = b 1 ┴
c
Докажем, что b и b 1 совпадают
Допустим, что они не совпадают. Тогда в плоскости через точку М проходят две прямые , перпендикулярные к прямой с но это невозможно. Значит а║ b.
a
b
b 1
АВС – правильный треугольник. О – его центр, ОМ – перпендикуляр к плоскости АВС, ОМ = 1. Сторона треугольника равна 3. Найдите расстояние от точки М до вершин треугольника.
По опр.
М
1
В
А
Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса»
O
3
С
16
Через вершину А треугольника АВС проведена плоскость, параллельная ВС, ВВ 1 и СС 1 , СС 1 =4, АС 1 =
АВ 1 = , . Найдите ВС.
ВВ 1
СС 1
В
С
4
4
В 1
С 1
Л.С. Атанасян №125.
А
17
Дано:
Дано:
АВС –равносторонний треугольник со стороной
О – точка пересечения медиан. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.
АВС D – квадрат со стороной 4, О – точка пересечения диагоналей. Найти расстояние от точки М до вершин квадрата.
М
М
1
2
В
Зив Б.Г. «Дидактические материалы по геометрии для 10 класса» Самостоятельная работа
А
4
В
С
4
O
O
4
А
4
D
С
18
№ 124. Прямая Р Q параллельна плоскости . Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1 . Докажите, что Р Q = P 1 Q 1 .
РР 1
QQ 1
Р
Q
PP 1 IIQQ 1
P 1
Л.С. Атанасян №124.
Q 1
19
ABCD – параллелограмм. BE (ABC), DF (ABC)
Доказать: (АВЕ) II (С DF)
ВЕ (АВС)
DF (АВС)
Е
ВЕ II DF
F
В
С
AB II DC
( AB Е) II ( CDF)
D
А
20
№ 125. Через точки Р и Q прямой PQ проведены прямые, перпендикулярные к плоскости , которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р 1 и Q 1 . Найдите Р 1 Q 1 .
15
Q
РР 1
QQ 1
Р
PP 1 IIQQ 1
33,5
21,5
P 1
Л.С. Атанасян №125.
Q 1
По опр.
21
Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Теорема: Если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в одной плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.
A
a
Дано: a┴q, a┴p, q p =O
q p
a
Доказать: a ┴
Доказательство:
P
l
Проведем через точку О прямую l ║m. Отложим AO=OB (A,B a)
O
q
Q
Проведем прямую b пересекающую прямые l, p,q в точках L, P, Q
m
L
p
AB ┴ q, AB┴ p, AO=OB = q,p серединные перпендикуляры к АВ
∆ ABQ=∆BPQ (AP=PB, AQ=QB, PQ- общ) =└APL=└BPQ
B
∆ ABL=∆BPL (AP=PB, └APL=└BPQ,PL- общ)= AL=BL
(l┴a, m║l)=m┴a=a┴
(AO=OB,AL=BL)= l┴AB=l┴a
Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости.
Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и при том только одна.
.
M
M,
Дано :
Доказать: M с , c┴
c
Доказательство:
Проведем в плоскости прямую а и рассмотрим плоскость М ┴ а .
b
a
= b
∩
В плоскости проведем прямую с┴ b
с- искомая прямая
Предположим, что через точку М проходит еще одна прямая с 1 ┴
Тогда с 1 ║ с, это невозможно, так как с 1 ∩ с = М