Измерение площади и объёма

Понятие площади нам хорошо известно из повседневной жизни. Каждый понимает смысл понятий площадь комнаты, площадь садового участка, площадь озера.

При этом на практике людям часто приходится выяснять, например, какое из двух полей больше, для того чтобы узнать, для засева какого из них требуется больше зерна. При решении этого вопроса мы не учитываем, какую форму имеют поля. Нас интересует, какое из них занимает больше места, то есть имеет большую площадь.

С геометрической точки зрения поле представляет собой фигуру, которая занимает некоторую часть плоскости. Именно для плоских фигур мы выясняем, какая из них занимает больше места на плоскости. Величину той части плоскости, которую занимает плоская фигура, называют площадью фигуры.

Теперь давайте вспомним, что означает измерить отрезок.

Итак, измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нём укладывается.

Для измерения площади фигуры поступают таким же образом. То есть выбирают единицу измерения площади и находят число, которое показывает, сколько раз выбранная единица содержится в измеряемой фигуре.

Давайте возьмём квадрат со стороной 1 метр. Площадь этого квадрата будем считать равной 1 квадратному метру. Пишут так:  м².

Площадь квадрата со стороной 1 сантиметр равна 1 квадратному сантиметру. Пишут:  см².

Рассмотрим, как перейти от одних единиц измерения площади к другим. Мы знаем, что в 1 м содержится 100 см, тогда в  м² укладывается  см   см, то есть  см².

В 1 см содержится 10 мм, тогда в  см² укладывается  мм   мм, то есть  мм².

Обратите внимание и на другие единицы измерения площади.

А вот для измерения больших площадей ввели несколько единиц измерения. 1 гектар – это квадрат, сторона которого равна 100 м. 1 ар – это квадрат, сторона которого равна 10 м.  га  а.

Ар также называют соткой, так как 1 ар равен  м².

Вы, наверное, слышали, как говорят «участок величиной 5 соток», «поле площадью 30 гектаров».

Измерить площадь фигуры означает подсчитать, сколько единичных квадратов в ней укладывается.

Так, например, найдём площадь изображённого на листе бумаги прямоугольника. Этот прямоугольник состоит из 5 полос. Каждая полоса разбита на 6 квадратов со стороной 1 см. Несложно посчитать, что весь прямоугольник состоит из 30 единичных квадратов (квадратов со стороной 1 см). То есть площадь этого прямоугольника равна 30 см².

Несложно найти площадь фигуры, которая состоит из квадратных метров, квадратных сантиметров и так далее. А как быть с площадью произвольной фигуры?

Давайте возьмём лист клетчатой бумаги и нарисуем на нём какую-нибудь фигуру.

Видим, что ровно 12 целых клеток содержится внутри нашей фигуры. А самое меньшее число клеток, которые покрывают фигуру, равно 36.

Таким образом, площадь данной фигуры больше 12 клеток, но меньше 36. Пусть 1 клетка есть 1 см², тогда площадь фигуры больше 12 см².

Величина 12 см² есть площадь фигуры, измеренная с недостатком. Величина 36 см² есть площадь фигуры с избытком.

В данной ситуации в качестве значения площади возьмём полусумму измерений с недостатком и избытком. Итак,  . То есть 24 см² – приближённое значение площади.

При этом погрешность вычисления площади меньше 12 см².

Чтобы найти площадь фигуры, надо дробить квадратную единицу. Мы знаем, что в 1 см² укладывается 100 мм².

Можно продолжить заполнять площадь фигуры мм², пока это будет возможно.

Прибавив соответствующее количество мм² к ранее найденной величине площади, мы найдём значение площади фигуры с недостатком, но уже точнее. Затем, продолжив покрывать фигуру мм², мы найдём её площадь с избытком. Снова найдём полусумму полученных значений с недостатком и избытком, которая тоже будет приближённым значением площади фигуры, но уже более точным.

Если продолжить этот процесс, то можно найти площадь данной фигуры ещё точнее.

Со словом «объём» мы часто встречаемся в обыденной жизни. Например, мы можем говорить: «объём жидкости в сосуде», «объём информации», «объём выполненных работ».

С геометрической точки зрения объёмом называют величину той части пространства, которую занимает пространственная фигура.

В качестве единицы измерения объёма можно выбрать куб с ребром, равным соответствующей линейной единице. Возьмём куб с ребром 1 метр. Его объём будем считать равным 1 кубическому метру. Пишут так:  м³.

Объём куба с ребром 1 см равен 1 см³.

Все остальные единицы измерения объёма получаются из единиц измерения длины таким же образом.

Часто 1 дм³ называют литром. В повседневной жизни мы чаще всего измеряем объём жидкости в литрах.

Переход от одних единиц измерения к другим осуществляется так же, как и при измерении площади.

Мы знаем, что в 1 м содержится 100 см, тогда в о м³ укладывается  см   см   см, то есть  см³.

Измерить объём фигуры означает подсчитать, сколько единичных кубов в ней укладывается. Например, найдём объём прямоугольного параллелепипеда. Начнём укладывать кубики с ребром 1 см на дно прямоугольного параллелепипеда. Итак, сначала положим ряд кубиков вдоль длинной стены. У нас поместилось 4 таких кубика. Затем вдоль этого ряда уложим ещё 1 ряд из 4 кубиков.

Получается, что на дне параллелепипеда помещается слой из 8 кубиков.

Чтобы заполнить весь наш параллелепипед, в него надо вложить ещё 2 таких слоя кубиков. Получается, весь параллелепипед можно заполнить 24 кубиками. То есть объём нашего прямоугольного параллелепипеда равен 24 см³.

При решении задач на измерение объёма совсем не обязательно разбивать пространство на кубические единицы, а затем мельчить на меньшие кубики (как мы это делали при нахождении площади произвольной фигуры).

Мы можем поступить следующим образом. Сосуд в виде единичного куба заполним какой-нибудь жидкостью, например, водой. Тогда получившееся количество воды будет соответствовать объёму одной кубической единицы.

Разливая это количество воды в разные по форме сосуды, мы будем получать единичные объёмы различной формы. Именно так мы часто поступаем во многих практических ситуациях. В хозяйстве с помощью бутылок разных объёмов мы можем измерить объёмы различных сосудов с достаточной нам точностью.

В геометрии, кроме измерения длин, площадей и объёмов, надо уметь измерять углы. И мы на одном из предыдущих занятий научились это делать с помощью транспортира. Вы знаете, что единица измерения угла – градус.

Давайте возьмём круг и разделим его на 360 частей. Угол, образованный двумя соседними лучами, равен .

Но есть и более мелкие единицы измерения угла. Минута – одна шестидесятая часть градуса. Минуты обозначают одним штрихом сверху ().

Есть и ещё более мелкая единица измерения угла. Секунда – одна шестидесятая часть минуты. Секунды обозначают двумя верхними штрихами ().

Например, запись   читается так: 55 градусов 21 минута 12 секунд.

Дольные единицы углов называют так же, как и единицы времени.

В повседневной жизни человеку постоянно приходится измерять множество различных величин: время, скорость, расстояние, массу, громкость звука и так далее.

При этом иногда нам удобнее с помощью некоторой единицы измерить не соответствующую ей величину. Так, например, говоря о расстоянии между школой и домом, мы чаще всего называем время, за которое доходим из школы домой (или наоборот).

Отметим, что часто при измерении каких-либо величин человеку приходится проявлять изобретательность. Например, нельзя взять и измерить радиус земного шара.