Видеоучебник / Геометрия / Наглядная геометрия 5–6 классы ФГОС / Вычисление длины, площади и объёма

Вычисление длины, площади и объёма

Урок 12. Наглядная геометрия 5–6 классы ФГОС

В этом видеоуроке мы повторим, что означает измерить длину, площадь, объём. Поговорим о вычислении длины, площади, объёма. Узнаем, какие фигуры называют равносоставленными. Выясним, какие фигуры называют равновеликими. Вспомним, как вычислить площадь прямоугольника. Узнаем, как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда.

Конспект урока "Вычисление длины, площади и объёма"

Напомним, что измерить отрезок означает подсчитать, сколько единичных отрезков в нём укладывается. Измерить площадь фигуры означает подсчитать, сколько единичных квадратов в ней укладывается. Измерить объём фигуры означает подсчитать, сколько единичных кубов в ней укладывается.

Теперь сформулируем некоторые свойства произвольных фигур.

Итак, каждая плоская фигура или пространственное тело имеют форму и размеры.

Равные фигуры – это фигуры, равные по размерам и имеющие одинаковую форму.

Так, например, следующие прямоугольник и квадрат имеют равные площади (в каждом из них укладывается одинаковое число единичных квадратов), но при этом они не равны, так как имеют разные формы.

Или, например, два круга имеют одну и ту же форму, но очевидно, что их размеры не совпадают. Значит, эти два круга не равны между собой.

А вот два отрезка одинаковой длины являются равными фигурами.

Две фигуры называют равными, если они совпадают при наложении. Посмотрите, на листе бумаги изображены фигуры. Если их вырезать и совместить, то мы увидим, что они совпадают при наложении. А значит, эти фигуры равны.

Если две различные плоские фигуры можно разрезать на одинаковые части, то эти фигуры будут иметь равные площади. Такие фигуры называют равносоставленными.

Давайте возьмём прямоугольник и разрежем его на два треугольника. Сложим из полученных фигур новую фигуру – треугольник. Полученный треугольник и прямоугольник – равносоставленные фигуры, так как состоят из одного и того же набора плоских фигур.

Прямоугольник и треугольник, составленные из частей прямоугольника, имеют одинаковую площадь.

Фигуры, имеющие равные площади, называют равновеликими.

Плоские равновеликие многоугольники также являются равносоставленными.

Таким образом, можно сказать, что многоугольник всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же площадью.

Давайте следующий четырёхугольник разделим на три части. Получили два треугольника и квадрат.

Теперь переложим один треугольник вот таким образом…

В результате получим прямоугольник, площадь которого равна площади исходного четырёхугольника.

Объёмные тела, составленные из одинаковых частей, имеют одинаковый объём.

В отличие от многоугольников, два многогранника, имеющие одинаковый объём, не всегда можно разделить на одинаковые части.

Теперь возьмём прямоугольник со сторонами длиной 2 см и 3 см.

Этот прямоугольник состоит из 6 квадратов. Площадь каждого квадрата равна 1 см². Тогда площадь всего прямоугольника равна 6 см².

Давайте увеличим каждую сторону данного прямоугольника в 2 раза. Тогда получим прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см. Несложно посчитать, что полученный прямоугольник состоит из 24 квадратов, а значит, его площадь равна 24 см².

. Получается, что площадь прямоугольника увеличилась в 4 раза.

При увеличении длины каждой стороны прямоугольника в 2 раза площадь увеличилась в , то есть в 4 раза.

Таким образом, если, не меняя формы плоской фигуры, увеличить её размеры в раз, то её площадь увеличится в раз.

Возьмём куб с длиной ребра 2 см. Найдём объём этого куба. Для этого посчитаем, сколько кубиков с ребром 1 см в нём поместится. Итак, на дно куба помещается 2 ряда из 2 единичных кубиков. Тогда на дне куба помещается слой из , то есть из 4 кубиков. Чтобы заполнить весь куб, в него надо вложить ещё 1 слой из 4 кубиков. Получается, что весь куб можно заполнить , то есть 8 кубиками. Поэтому объём нашего куба равен 8 см³.

А теперь давайте увеличим ребро куба, например, в 2 раза. Тогда получим куб с длиной ребра 4 см. Найдём объём этого куба. На дно куба помещается 4 ряда из 4 единичных кубиков. Тогда на дне куба помещается слой из , то есть из 16 кубиков. Чтобы заполнить весь куб, в него надо вложить ещё 3 слоя из 16 кубиков. Получается, что весь куб можно заполнить , то есть 64 кубиками. Поэтому объём этого куба равен см³.

. Получается, что объём куба увеличился в 8 раз.

При увеличении длины ребра куба в 2 раза объём куба увеличился в , то есть в 8 раз.

Таким образом, если, не меняя формы тела, увеличить его размеры в раз, то его объём увеличится в раз.

Отметим, что площадь фигуры и объём тела не всегда удобно находить так, как мы это делали выше. Так, например, вычислить площадь участка или объём комнаты было бы удобнее с помощью некоторых формул. Ещё в начальной школе мы узнали, что площадь прямоугольника равна произведению его длины и ширины.

Если и – длины соседних сторон прямоугольника (в каких-то единицах), то его площадь равна квадратных единиц.

В буквенном виде формулу для вычисления площади прямоугольника записывают так:

– площадь, , – длины соседних сторон прямоугольника. При вычислениях важно помнить, что длина и ширина прямоугольника должны быть выражены в одних и тех же единицах измерения.

Так, площадь прямоугольника со сторонами 2 см и 3 см равна (см²).

А сейчас посмотрите на следующий рисунок.

На нём изображён квадрат со стороной 4 см. Давайте вычислим его площадь. Так как квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны, то воспользуемся формулой площади прямоугольника. (см²).

Так как у квадрата все стороны равны, то его площадь находят по формуле:

Теперь познакомимся с формулой для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда.

Если , и – длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда, то его объём равен кубических единиц.

В буквенном виде формулу для вычисления объёма прямоугольного параллелепипеда записывают так:

– объём, , , – измерения прямоугольного параллелепипеда. Отметим, что при вычислениях важно помнить, что длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда должны быть выражены в одинаковых единицах измерения.