Функция √х и ее график

Ранее вы познакомились с функцией у = х² и научились строить её график, который имеет особое название – парабола. Сегодня эта функция нам пригодится для изучения нового материала.

Пусть есть некоторый квадрат с длиной его стороны а см и площадью S см².

Тогда, подставляя указанные данные в формулу площади квадрата, имеем .  Причём, известно, что , т.к. длина это неотрицательная величина. Эта формула выражает зависимость площади квадрата от длины его стороны. Т.е. каждому значению длины а стороны квадрата соответствует единственное значение его площади S.

А теперь давайте выразим из формулы площади квадрата формулу для нахождения длины стороны квадрата.

Т.е. .

Эта формула выражает зависимость длины стороны квадрата от его площади. Получаем, что для каждого значения площади S можно указать соответствующее ему единственное значение длины стороны а.

Формулами

задаются функциональные зависимости между одними и теми же переменными. Только в первом случае независимой переменной является длина а стороны квадрата, а во втором – площадь S квадрата.

Давайте заменим в каждой из формул независимую переменную буквой х, а зависимую переменную буквой у. Тогда формулы примут вид:

Построим графики этих функций.

Графиком функции , является парабола.

Но у нашей функции, обратите внимание, есть очень важная оговорка: , а значит, графиком нашей функции будет лишь часть параболы  – её правая ветвь.

Теперь нужно построить график функции .

Для этого зададим несколько значений аргументу х и вычислим соответствующие значения функции. Обратите внимание, будем задавать только неотрицательные значения х, т.к. при  выражение  не имеет смысла.

 Итак, мы с вами составили таблицу значений функции. Теперь давайте отметим в координатной плоскости найденные точки. Затем соединим их линией.

Получили график функции .

Из рисунка видно, что график функции  лишь один раз касается оси Оу, в точке с координатами (0; 0).

Как видно, график напоминает повернутую параболу, точнее одну из её ветвей. Теперь стоит отметить некоторые из свойств, которыми обладает данная функция.

Как мы уже заметили, график функции , как и график функции , где , представляет собой ветвь параболы.

Эти графики симметричны относительно прямой .

Доказательство симметрии графиков основано на том, что точки с координатами (а, b) и (b, а) симметричны относительно прямой .

Докажем симметричность наших графиков.

Пусть есть две точки: точка M (a, b) и некоторая точка N (b, a). И пусть точка M принадлежит графику функции , где . Подставим координаты точки M в формулу . Тогда верно равенство . По условию а – неотрицательное число. Значит, можно вычислить а, тогда . Теперь подставим координаты точки N в формулу . Тогда верно равенство . Т.е. точка N (b, a) принадлежит графику функции .

Верно и обратное: если некоторая точка принадлежит второму графику, то точка, у которой координатами являются те же числа, но взятые в другом порядке, принадлежит первому графику.

Вывод:

Каждой точке M (a, b) графика функции , где , соответствует точка N (b, a) графика функции  и наоборот.

Т.к. точка M (a, b) и точка N (b, a) симметричны относительно прямой , то и сами графики симметричны относительно этой прямой.

Задание 1:

с помощью графика функции  найдите значение аргумента, которому соответствует значение функции: .

Решение:

Задание 2: функция задана формулой  . Определите значение функции при .

Решение:

Задание 3: принадлежат ли графику функции  точки ,  и .

Решение:

Итоги:

График функции  имеет вид:

График функции  обладает такими свойствами:

1)     Если , то и . Поэтому начало координат принадлежит графику функции.

2)    Если , то и . График расположен в первой координатной четверти.

3)    Большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Т.е. график идёт вверх.