Составные задачи на нахождение числа по двум разностям

Ой, забыл представиться. Меня зовут профессор Математичкин.

̶ В решении задач мне нет равных. А как вы думаете, какой мой самый любимый тип задач? Конечно, задачи на нахождение числа по двум разностям. И сегодня я научу вас решать такие задачи.

Но эти задачи требуют особого внимания и отличной подготовки. Поэтому сначала мы разомнёмся и решим лёгкую задачу.

Хочу только напомнить вам, что если мы говорим о том, сколько стоит один предмет, то мы говорим о цене этого предмета.

А если нужно узнать, сколько стоит несколько предметов, то это – стоимость предметов.

Итак, задача.

Боря купил 5 тетрадей, а Миша 3 такие же тетради. Кто из них больше заплатил за свои тетради?

Конечно, Боря больше заплатил за тетради, ведь он купил 5 тетрадей, а Миша только 3. А мы знаем, что 5 больше чем 3. Значит и денег заплачено тоже больше.

А теперь перейдём к более серьёзным задачам.

В первом куске ткани на 4 м больше, чем во втором куске такой же ткани, и он стоит на 240 р. больше, чем второй. Сколько стоит 1 м ткани?

Давайте рассмотрим всё на рисунке.

Синим отрезком обозначим первый кусок ткани, а зелёным – второй. По условию сказано, что первый кусок ткани на 4 м больше, поэтому синий отрезок длиннее.

Почему второй кусок стоит дороже, чем первый? Потому что он длиннее. В нём есть дополнительные 4 метра и именно за счёт этих 4-х метров первый кусок ткани

дороже второго на 240 руб. Значит, именно эти 4 метра и стоят 240 рублей. А если мы знаем, сколько стоят 4 метра ткани, мы можем узнать, сколько стоит 1 метр ткани. Конечно, можем.

1) 240 : 4=60 (руб.) ̶ стоит 1 метр ткани.

Ответ: 1 метр ткани стоит 60 рублей.

А теперь давайте решим похожую задачу, только немного сложнее.

В первом куске 3 м ткани, во втором 7 м такой же ткани. Второй кусок стоит больше первого на 240 р. Сколько стоит 1 м ткани? Сколько заплатили за каждый кусок ткани?

Опять же выполним рисунок.

Синим отрезком обозначим первый кусок ткани, а зелёным – второй.

Зелёный отрезок длиннее, т.к. по условию задачи второй кусок ткани длиннее.

А ещё по условию задачи сказано, что второй кусок стоит больше первого. А почему? Потому что в нём больше ткани, чем в первом. Если бы куски были одинаковыми, то и стоимость их была бы одинаковая. Но, из-за того, что второй кусок длиннее, стоимость его больше. Значит, именно эти дополнительные метры ткани дают дополнительную стоимость. Нам известно, что эти дополнительные метры стоят 240 рублей. Осталось только узнать, за сколько же метров заплачены эти 240 рублей? Т.е. мы должны узнать, на сколько второй кусок длиннее первого.  

Это мы конечно находим вычитанием:

1) 7 – 3 = 4 (м.)

На 4 метра второй кусок ткани длиннее, а значит именно эти 4 метра, и стоят 240 руб.

Так если 4 метра ткани стоят 240 рублей, то 1 м. ткани – в 4 раза меньше, и мы находим это делением:

2) 240 : 4 = 60 (руб.) ̶ цена 1 м ткани

Теперь, когда мы знаем, сколько стоит 1 метр ткани, мы можем узнать, сколько стоит первый кусок, в котором 3 метра. Он стоит в 3 раза дороже, и мы находим его стоимость действием умножения.

3) 60 · 3 = 180 (руб.) - стоимость первого куска ткани

А теперь мы можем узнать, и сколько стоит второй кусок, тоже выполнив действие умножения.

4) 60 · 7 = 420 (руб.) - стоимость второго куска ткани

Ответ: стоимость первого куска ткани – 180 рублей, стоимость второго – 420 рублей.

А давайте проверим, верно ли мы посчитали.

В условии задачи сказано, что второй кусок стоит больше первого на 240 р. А как это проверить?

Надо от стоимости второго куска ткани вычесть стоимость первого куска.

Проверка:

420 – 180 = 240 (руб.)

Всё верно. Результат проверки соответствует условию задачи.

Вот мы и разобрали задачу, которая относится к моему любимому виду. Но, чтобы вы без труда смогли решать такие задачи, я предлагаю решить ещё одну.

Игорь носил воду пятилитровым ведром, а Юля – трёхлитровым. Они принесли одинаковое количество вёдер с водой. При этом Игорь вылил в бочку на 12 литров больше, чем Юля. Сколько литров воды принёс каждый?

Как обычно, начинаем разбор задачи с рисунка.

Опять изобразим синим отрезком воду принесённую Игорем, а красным отрезком – воду, принесённую Юлей. На рисунке видно, что синий отрезок длиннее красного, т.к. Игорь принёс воды на 12 литров больше. Эти 12 литров он принёс не за один раз, а за несколько.

Сначала узнаем, разницу между вместимостью вёдер Игоря и Юли, т.е. на сколько Игорь приносил больше Юли за каждый раз. Выполним вычитание:

1) 5 – 3 = 2 (л.) ведро Игоря больше ведра Юли.

Значит, каждый раз Игорь приносил на 2 литра воды больше, чем Юля и всего он при этом дополнительно принёс 12 литров воды. Теперь мы можем узнать, сколько раз по 2 литра содержится в 12 литрах. Находим это делением:

2) 12 : 2 = 6 (р.)

Значит, Игорь ходил за водой 6 раз. И каждый раз он приносил по 5 литров воды. Теперь мы можем узнать, сколько всего воды принёс Игорь.

3) 5 · 6 = 30 (л) ̶ принёс Игорь

По условию задачи, мы знаем, что Игорь и Юля принесли одинаковое количество вёдер. Значит и Юля тоже ходила за водой 6 раз, принося каждый раз по 3 литра воды. Теперь мы можем узнать, сколько воды принесла Юля.

4) 3 · 6 = 18 (л) принесла Юля

Ответ: 30 литров воды принёс Игорь, 18 литров воды принесла Юля.

Ну, вот мы и разобрали задачи, и я надеюсь, у вас не возникнет проблем в решении таких задач. А если вам когда-нибудь встретятся подобная задача, и вы забудете, как её решать, посмотрите ещё раз наш видеоурок. Удачи вам!