Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Однажды вечером Саша и Паша сидели у Саши дома и решали, чем заняться. И тут Паша предложил:

– Саша, а давай полепим.

– А из чего? У меня нет пластилина.

– Давай сами сделаем. Только у нас будет не пластилин, а солёное тесто. Из него тоже можно вылепить красивые и необычные фигурки.

У меня даже где-то был рецепт. Вот, нашёл. Только самого рецепта нет, есть технология изготовления. Итак, надо смешать  часть стакана соли с  стакана муки, добавить воду и постепенно добавить ещё  стакана соли.

– Так, подожди Паша. Сколько всего соли надо взять?  стакана и ещё . Как такое сложить?

Помнишь, нам Электроша говорил, что обыкновенные дроби можно складывать, отнимать, умножать и делить, как числа.

Давай попробуем сложить  и . Сложим числители и знаменатели. И получим .

– А, может надо числитель первой дроби сложить со знаменателем второй дроби, а числитель второй – со знаменателем первой. Тогда получим .

– Да, задача – протянул Саша.

Давай пойдём к Электроше, он уж точно нас научит правильно складывать дроби.

И мальчики отправились к своему другу – роботу Электроше.

– Электроша, привет!

Смотри, у нас появилась новая проблема, которую мы не можем решить. Чтобы приготовить солёное тесто для лепки, нам надо сначала взять  стакана соли, а потом ещё взять  стакана соли. Вот мы и не можем подсчитать, сколько соли нам всего надо взять.

Поможешь нам?

– Конечно помогу. Только сначала давайте посчитаем устно.

Ну что, теперь можно перейти к решению вашей задачи.

Чтобы было удобнее, давайте изобразим прямоугольник. Посмотрите внимательно на наши дроби. У них общий знаменатель.

– Паша, на сколько частей нам надо разделить наш прямоугольник?

– Ну, раз знаменатель дробей равен 7, то разделить наш прямоугольник необходимо на 7 частей.

– Да, ты прав. Теперь давайте отметим первую дробь. Сколько частей нам нужно заштриховать, Саша?

– Нам надо заштриховать 1 часть.

Изобразим на этом же прямоугольнике .

Посчитайте, сколько частей у нас всего закрашено.

– Ну, это не сложно. Всего закрашено 5 частей.

– А как можно записать это дробью?

– .

– Да, правильно.

– Подожди, Электроша, Получается, что для того, чтобы сложить две дроби, нужно просто сложить их числители? А почему знаменатели мы не складываем?

– Да, Саша, ты прав, есть правило, которое помогает сложить дроби с одинаковыми знаменателями. Обратите внимание, что мы говорим только о дробях с одинаковыми знаменателями. Как складывать дроби с разными знаменателями, мы узнаем позже.

А сейчас запомните правило: чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним.

В буквенном виде, это можно записать так .

– Ага, все понятно, надо просто сложить числители дробей и все. Легкотня.

– Ну раз понятно, выполните задание.

Выполните действия: . И назовите дроби, которые у вас получились.

Первым начал решать Паша. . Складываем 3 и 5 и получаем . Числитель больше знаменателя, значит, это неправильная дробь.

Затем к решению приступил Саша. . Получим . Числитель меньше знаменателя – получили правильную дробь.

. Складывая 1 и 15, получим . Числитель равен знаменателю, получили неправильную дробь, которая равна 1.

– Молодцы, ребята. Вы все правильно решили.

Теперь давайте поговорим о разности дробей с одинаковыми знаменателями.

Рассмотрим разность дробей  и . Сначала разберём, что обозначает эта запись.

Вспомним про разность обыкновенных чисел.

Как можно понять, что из 13 вычитают 7? Паша, ты помнишь?

– Это будет число 6. Для проверки надо сложить 6 и 7 и мы должны получить 13.

– Да, Паша, ты прав. С обыкновенными дробями то же самое.

Запись  надо понимать так: нужно найти такое число, которое в сумме с  даст число .

Поскольку к  надо прибавить , значит, получим, что .

Запомните правило: чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого, а знаменатель оставить прежним.

В буквенном виде, это записывается так: .

– Так это тоже несложно. Электроша, дай нам задание, и мы с Пашей его решим.

Выполните действия: .

Начинай ты, Саша. . От 13 отнимем 6 и получим, что эта разность равна .

.

Теперь ты, Паша реши последний пример.

. Получим .

– Вы молодцы. Все правильно сделали. Вот вам еще одно задание.

Решите уравнения: .

– Итак, начал Паша. Разберем первое уравнение . У нас записана сумма, в которой неизвестно одно из слагаемых. Мы помним, что для того, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое. Получим, что . Вспомним, как вычитаются дроби с одинаковыми знаменателями, и получим, что .

– А можно теперь я? – спросил Саша. – Второе уравнение  – это разность, в которой неизвестно вычитаемое. Мы помним, что для того, чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность. Получим, что . Тогда .

Последнее уравнение  – это разность, в которой неизвестно уменьшаемое. Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность. Получим, что . Тогда .

– Молодцы, мальчики. Вот вам ещё одна задача. В мясном магазине за 3 дня продали 225 килограмм мяса. В первый день продали  мяса, во второй день . Сколько килограмм мяса продали в третий день?

Паша, может ты попробуешь решить?

– Хорошо. Сначала давайте найдём, какую часть мяса продали за 2 дня. Для этого сложим дроби  и . Получим, что за первые два дня продали  всего мяса. Попробуем посчитать, сколько это килограмм.

Знаменатель показывает, что всё количество мяса надо разделить на 9. . Получим, что 1 часть равна 25 килограммам.

Нам нужно взять 7 таких частей. Умножим 7 на 25 и получим, что за первые 2 дня было продано  килограмм мяса.

Теперь для того, чтобы определить, сколько мяса продали в третий день, надо от 225 отнять 175 и получим, что в третий день продали всего  килограмм мяса.

– Молодец, Паша, ты все правильно решил.

Вот вам ещё одна задачка. Посложнее.

Мальчик читает книгу. В первый день он прочитал  всей книги. Во второй день на  меньше чем в первый. На третий день мальчик закончил читать книгу, прочитав за 3 дня 506 страниц. Сколько страниц книги мальчик прочитал в третий день?

– Так, сначала нам надо посчитать, сколько страниц мальчик прочитал во второй день. В условии сказано, что это число на  меньше того количества страниц, которые мальчик прочитал в первый день. То есть мы можем от  отнять  и получим, что во второй день мальчик прочитал  всей книги.

Теперь найдем, какую часть книги мальчик прочитал за 2 дня.

Для этого  сложим с . Получим, что за 2 дня мальчик прочитал  всей книги.

Разделим 506 на 22 и узнаем, сколько страниц книги составляет 1 часть. Одна часть книги составляет  страницы. У нас 13 таких частей. Значит, за 2 дня мальчик прочитал  страниц. Остаётся только от 506 отнять 299 и получим, что в третий день мальчик прочитал  страниц.

– Молодец, Саша. Ты все правильно решил.