Дроби и деление натуральных чисел

– Вау! Ничего себе! Круто!

– Саша, привет. Что это ты бормочешь? Что круто?

– Привет, Паша. Да вот я читаю интересную книгу про пиратов. Представляешь, они нашли самый настоящий клад. Целых три мешка золота!

– Это действительно круто!

Если бы у меня был целый мешок золота, то я… Я бы скупил все игрушки на свете и поехал в Диснейленд.

– Так в том-то и дело, что не может каждый пират взять себе по целому мешку золота. Мешка всего 3, а пиратов – 4. А 3 на 4 ну никак разделить не получается.

– Да, проблемка.

– Кажется, я знаю, кто нам может помочь разделить 3 мешка золота между четырьмя пиратами. Электроша! Пойдём к нему!

– Электроша, привет. Сегодня у нас задачка про клад.

– Здравствуйте, мальчики. Про клад – это интересно.

– Смотри, четыре пирата нашли три мешка золота. Как разделить золото так, чтобы всем досталось поровну?

– Да, задача интересная, но сначала давайте немного устно порешаем.

– Вернёмся к пиратам. Они могут разделить свой клад так.

Содержимое каждого большого мешка поровну рассыпать на 4 маленьких мешка.

– Сколько всего таких мешков получится, Саша?

– Ну это просто. Если каждый мешок разделим на 4 мешочка, то получим 12 маленьких мешочков. Ой, я понял, каждому пирату достанется по 3 таких маленьких мешочка. Я прав?

– Да, Саша. Ты абсолютно прав. А теперь давайте попробуем записать дробью ту часть большого мешка, которая достанется каждому пирату. Паша, ты можешь сказать?

– Да, Электроша. Раз мешки мы делили на 4 одинаковых части, значит, знаменатель дроби равен 4. Поскольку каждому пирату досталось по 3 мешочка, то числитель дроби равен 3. То есть каждый пират получил по  большого мешка с кладом.

– Ничего себе! Получается, что с помощью дробей ещё можно и делить? Здорово!

– Да, Паша. Ты прав. Мы делили 3 мешка на 4 пиратов, то есть 3 на 4, и у нас получилась дробь . То есть можно записать, что эти два выражения равны.

Но это справедливо и не только для нашего примера.

Так, например, дробь  можно записать как 2 : 5. Дробь  – как 5 : 7, и так далее.

Другими словами, можно сказать, что черту дроби можно рассматривать как знак деления. А запись  можно читать: «а разделить на б».

Тогда числитель и знаменатель дроби можно рассматривать как компоненты деления.

Паша, помнишь ли ты компоненты деления?

– Да, помню: делимое, делитель и частное.

– Правильно. Как вы думаете, мальчики, числитель дроби –

 это какой компонент деления?

– Я думаю, что числитель – это делимое, а знаменатель – делитель.

– Да, Саша, ты прав.

– Ну что, мальчики, вам всё ясно?

– Да, Электроша, нам всё стало понятно.

– Тогда давайте выполним задание.

Представить в виде дробей выражения: .

Саша, начинай ты.

– Первое выражение – . Запишем это выражение в виде дроби. Числитель дроби – это делимое выражения, то 28, а знаменатель – делитель выражения, то есть 7. Получим, что выражение  можно записать дробью .

Подожди, Саша, но  равно 4. Получается, что дробь ? Электроша, разве дробь может быть равной числу? Ну, кроме 1. Об этом мы уже говорили.

– Да, Паша, дробь вполне может быть равной натуральному числу. Давайте дорешаем это задание, и потом я сформулирую для вас одно правило.

Продолжай решать, Саша.

– Второе выражение  можно записать как . Третье выражение  равно .

И последнее выражение  можно записать дробью .

– Молодец, Саша! А теперь сформулируем правило.

Результат деления двух натуральных чисел может быть натуральным или дробным числом.

Сейчас давайте посмотрим на число 4. В предыдущем задании мы записали его с помощью дроби . А можно ли число 4 записать ещё какой-нибудь дробью? Как ты думаешь, Паша?

– Я думаю, можно записать, что . Правильно?

– Да, Паша, ты абсолютно прав. А ещё как?

– Так, надо подумать. О, я понял! Можно взять таблицу умножения «на четыре» и из каждой строчки составить дробь. Я прав?

– Да, Паша. Запомните ещё одно правило: любое натуральное число можно записать в виде дроби с любым знаменателем.

Вот, например, запишите число 4 дробью со знаменателем 100.

– Надо найти число, которое при делении на 100 даёт 4. Нетрудно понять, что это число 400. Получим, что 4 можно представить в виде дроби .

Вам всё ясно?

– Да, Электроша. Можешь давать нам задания, мы всё решим.

Итак, начнём с простого. Надо записать дробь в виде частного: . Саша, давай ты попробуешь его решить.

– Хорошо.  можно записать как .

 можно записать как .

 запишем частным .

– Молодец, Саша.

Теперь, Паша, задание для тебя.

Запиши число 7 в виде дроби со знаменателем 1, 8, 19.

.

Для того, чтобы записать 7 в виде дроби со знаменателем 8, умножим  и получим, что .

Умножим  и получим, что .

– Молодец, Паша! Вот вам ещё одно задание.

Решите уравнения: .

Решать начал Саша.

Первое уравнение  – это деление. Неизвестно у нас делимое. Мы помним: для того, чтобы найти неизвестное делимое, нужно делитель умножить на частное. Получим: , то есть .

Во втором уравнении  нам неизвестен делитель. Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное. Тогда , то есть .

– Саша, а давай теперь я порешаю.

Так, в третьем уравнении  у нас неизвестен делитель. Разделим  и получим, что . Теперь перед нами сумма, в которой неизвестно одно слагаемое. Как найти слагаемое, мы знаем  и получим, что .

Перейдём к последнему уравнению .

Чтобы найти неизвестное делимое, перемножим 12 и 7. . Получим, что . Отсюда , то есть .