Вам уже известно определение скалярного произведения векторов и правило его вычисления.
Кроме этого вы знаете, что скалярное произведение можно находить ещё и в координатах.
Сегодня будем говорить о свойствах скалярного произведения векторов.
Запишем первое свойство. Скалярный квадрат всегда является числом неотрицательным .
Действительно, ведь скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. А значит, он больше либо равен нулю.
Причём скалярный квадрат положителен, если вектор ненулевой, и равен нулю, если вектор нулевой.
Второе свойство называют переместительным законом. Скалярное произведение векторов равно скалярному произведению векторов : .
Пользуясь определением скалярного произведения, это не трудно доказать.
Что и требовалось доказать.
Третьим свойством запишем распределительный закон .
, ,
Что и требовалось доказать.
Четвёртым свойством запишем сочетательный закон .
, ;
Что и требовалось доказать.
Итак, мы доказали четыре свойства скалярного произведения векторов. Рассмотрим несколько задач, в которых можно применить данные свойства.
Задача. Найти значение выражений, если , , .
а)
б)
в)
г)
Решение.
а)
б)
в)
г)
Задача. Найти , если , .
, , , .
Решение.
А теперь рассмотрим геометрические задачи, которые решаются с применением скалярного произведения векторов.
Задача. Найти величину в , если , , .
Решение.
Ответ: .
Задача. квадрат, где середина , а середина . Доказать, что .
Доказательство.
, ,
Итак, найдём каждую координату данных векторов как разность соответствующих координат их конца и начала.
Найдём скалярное произведение этих векторов.
Что и требовалось доказать.
Подведём итоги нашего урока.
Сегодня Вы познакомились со свойствами скалярного произведения векторов. Мы рассмотрели примеры их применения при выполнении различных заданий. В том числе убедились, что скалярное произведение векторов иногда очень удобно применять при решении геометрических задач.