Правильный многоугольник

На этом уроке мы узнаем, какой многоугольник называют правильным. А также выведем формулу для вычисления угла правильного n-угольника.

Прежде, чем мы приступим к изучению новой темы, давайте вспомним, что мы уже знаем о многоугольниках.

Итак, на рисунке изображены два произвольных многоугольника. Напомню, что многоугольником называется часть плоскости, состоящая из простой замкнутой ломаной и ограниченной ею внутренней области. Или иными словами, многоугольник – это замкнутая ломаная без самопересечений. В зависимости от числа вершин или сторон многоугольник называют треугольником, четырехугольником, пятиугольником и т.д.

Давайте рассмотрим первый многоугольник A₁A₂A₃A₄A₅. Он составлен из отрезков , , , , . Причем смежные отрезки, то есть отрезки  и ,  ,  и ,  и ,  и  не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки, например,  и ,  и , и  не имеют общих точек.

Точки , , , ,  называются вершинами этого многоугольника, а отрезки , , , ,  – его сторонами.

Две вершины, которые принадлежат одной стороне, например, и , , , называются соседними.

Отрезок, соединяющий две не соседние вершины многоугольника, называют его диагональю. Например, отрезок А один А три – диагональ данного многоугольника.

Сумму длин всех сторон многоугольника называют периметром.

Обратите внимание, что рассматриваемый многоугольник имеет 5 вершин и 5 сторон, а поэтому его называют пятиугольником.

Многоугольник разделяет плоскость на две части, а именно, на внутреннюю область многоугольника и на внешнюю.

Угол, образованный двумя сторонами многоугольника, выходящими из одной вершины, и содержащий многоугольник, называют внутренним углом многоугольника. А угол, смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине, называют внешним углом многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разность между 180° и внутренним углом.

Все многоугольники делят на выпуклые и невыпуклые. Рассмотрим наши многоугольники.

Если во втором многоугольнике провести прямую A₁A₂, то весь многоугольник лежит по одну сторону от этой прямой. А вот, если провести прямую A₃A₄, то она разделит многоугольник на две части, лежащие по разные стороны от этой прямой. Такой многоугольник называют невыпуклым.

Вернемся к первому многоугольнику. Какую бы прямую, содержащую одну из его сторон, мы не провели, например, A₁A₂ или A₄A₅ и т.д., многоугольник всегда будет лежать по одну сторону от любой подобной прямой. Такой многоугольник называют выпуклым.

Вспомним определения. Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любые две соседние вершины.

 А вот если многоугольник лежит по разные стороны хотя бы от одной прямой, проходящей через две соседние вершины, то его называют невыпуклым.

Многоугольник с n вершинами называют n-угольником.

Точки ,, , …,,  – вершины n-угольника.

Отрезки ,, …, ,  – стороны n-угольника.

Теперь давайте разберемся, какой  многоугольник называют правильным. Определение. Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны.

Примерами правильных многоугольников являются правильный треугольник и квадрат.

На рисунке изображены правильные многоугольники.

А теперь давайте выведем формулу для вычисления внутреннего угла правильного н-угольника. Ранее мы с вами выяснили, что сумма углов выпуклого -угольника равна , где n – количество сторон (углов). Следовательно, эта формула подойдет и для правильного n-угольника. Но так как в определении прозвучала фраза, что правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все углы равны, т.е. правильный n-угольник имеет n одинаковых углов. Значит, сумму его углов можно вычислить как , где - градусная мера внутреннего угла многоугольника. Преобразовав это равенство, получим, что угол правильного n-угольника можно вычислить по формуле .

Обратите внимание, чтобы вычислить (внутренний угол правильного н-угольника), нужно сумму всех углов многоугольника разделить на количество Задача. Внутренний угол правильного многоугольника равен . Одна из сторон равна  см. Найдите периметр многоугольника.

Решение.

Пусть многоугольник имеет  сторон.

Сумма углов многоугольника равна .

Значит,

 (см)

Ответ:  (см).

Задача. Докажите, что диагональ правильного пятиугольника параллельна его стороне.

Доказательство.

Вычислим, чему равен внутренний угол нашего правильного пятиугольника.

Рассмотрим .

Следовательно,  – равнобедренный.

Рассмотрим четырехугольник .

Так как ,

то .

Следовательно, .

Что и требовалось доказать.

Подведем итоги урока. На этом уроке мы узнали, что правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все углы равны и все стороны равны. А также вывели формулу для вычисления угла правильного n-угольника, а именно , где n – количество сторон (углов) правильного n-угольника.