Способы быстрого счета

«Устный счет - гимнастика для ума»

Приемы быстрого счета

«Счет и вычисления – основы порядка в голове» Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827)

Актуальность темы

• Устный счет – гимнастика для ума. Счет в уме является самым древним способом вычисления. Освоение вычислительных навыков развивает память и помогает усваивать предметы естественно-математического цикла.
• Существует много приемов упрощения арифметических действий. Знание упрощенных приемов вычисления особенно важно в тех случаях, когда вычисляющий не имеет в своем распоряжении таблиц и калькулятора.
• Мы хотим остановиться на способах сложения, вычитания, умножения, деления, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.
• Мотивацией для выбора темы послужило желание продолжения формирования вычислительных навыков, умения быстро и чётко находить результат математических действий.
• Правила и приёмы вычислений не зависят от того, выполняются они письменно или устно. Однако, владение навыками устных вычислений представляет большую ценность не потому, что в быту ими пользуются чаще, чем письменными выкладками. Это важно ещё и потому, что они ускоряют письменные вычисления, приобретают опыт рациональных вычислений, дают выигрыш в вычислительной работе.

«Счет и вычисления – основы порядка в голове» Иоганн Генрих Песталоцци (1746 - 1827)

Актуальность темы

• На уроках математики приходится, много делать устных вычислений и когда учитель показал нам приём быстрого умножения на числа 11 , у нас возникла идея, а существуют ли ещё приёмы быстрого вычисления. Мы поставили перед собой задачу, найти и опробовать другие приёмы быстрого вычисления.
• Немногие умеют считать быстро и правильно. Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь решать задачи, то должны начать их решать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке в решении задач.
• А ведь приёмы быстрого устного счёта известны давно. Великолепные способности к устному счёту таких блестящих математиков, как Гаусс, фон Нейман, Эйлер или Валлис, вызывают настоящий восторг. Об этом много написано. Мы хотим рассказать и показать некоторые известные вычислительные секреты. И тогда перед вами откроется совсем другая математика. Живая, полезная и понятная.

Цель проекта

Изучить и научиться применять некоторые способы быстрого счета, для производства которых достаточно устного счета или применения ручки и бумаги.

1.

• Изучить литературу по данной теме
• Изучить литературу по данной теме

2.

• Освоить несколько быстрых и удобных способов устного счета, которые могут пригодиться в математике.
• Освоить несколько быстрых и удобных способов устного счета, которые могут пригодиться в математике.

3.

• Составить задания для учеников школы для развития у них навыков быстрого счета
• Составить задания для учеников школы для развития у них навыков быстрого счета

4.

• Выяснить, можно ли
• Выяснить, можно ли

Задачи проекта

Счёт на пальцах

Способ быстрого умножения чисел в пределах первого десятка на 9.   Допустим, нам нужно умножить 7 на 9.

Повернём руки ладонями к себе и загнём седьмой палец (начиная считать от большого пальца слева).

Число пальцев слева от загнутого будет равно десяткам, а справа - единицам искомого произведения.

Умножение чисел от 10 до 20

• Можно очень просто умножать такие числа.
• К одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, умножить на 10 и прибавить произведение единиц чисел.
• Пример 1. 16∙18=(16+8) ∙ 10+6 ∙ 8=288, или
• Пример 2. 17 ∙ 17=(17+7) ∙ 10+7 ∙ 7=289.

Задание: Умножьте быстро 19 ∙ 13

Проверь себя!

19 ∙13=(19+3) ∙10 +9 ∙3=247

Умножение на 11

• Чтобы двузначное число, сумма цифр которого не превышает 10, умножить на 11, надо цифры этого числа раздвинуть и поставить между ними сумму этих цифр.

• Примеры:

72 ∙ 11 = 7 (7 + 2) 2 = 792;

35 ∙ 11 = 3 (3 + 5) 5 = 385.

• Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.
• Пример .

94 ∙ 11 = 9 (9 + 4) 4 = 9 (13) 4 = (9 + 1) 34 = 1034.

Умножение на 11

Задание: Умножьте быстро 54 ∙ 11

Проверь себя!

54 ∙11=5(5+4)4=594

Задание: Умножьте быстро 67∙ 11

Проверь себя!

67 ∙11=6(6+7)7=737

Умножение на 22, 33, ..., 99

• Чтобы двузначное число умножить на 22, 33, ..., 99, надо этот множитель представить в виде произведения однозначного числа (от 2 до 9) на 11, то есть 44 = 4 11; 55 = 5 ∙ 11 и т.д. Затем произведение первых чисел умножить на 11.
• Пример 1. 24 ∙ 22 = 24 ∙ 2 ∙ 11 = 48 ∙ 11 = 528
• Пример 2. 23 ∙ 33 = 23 ∙ 3 ∙ 11= 69 ∙ 11 = 759

Задание: Умножьте 18∙ 44

Проверь себя!

18 ∙ 44 = 18 ∙ 4 ∙ 11= 72 ∙ 11 = 792

Умножение на 25

• Чтобы умножить какое-нибудь число, нужно данное число разделить 4.
• Ответ - полные сотни, остаток – неполные (1, 2, 3 или 25, 50, 75).
• Пример. 135 ∙ 25=(135:4=100:4+35:4)=33 сотни, остаток 3 (или неполная сотня – 75)=3375.

Задание: Умножьте быстро 126 ∙ 25

Проверь себя!

126:4=100:4+26:4= 31 сотня, остаток 2(или неполная сотня – 50)=3150

Умножение на 5, на 50, на 25, на 125

• При умножении на эти числа можно воспользоваться следующими выражениями:

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2

a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8

Пример1. 17 ∙ 5=17 ∙ 10:2=170:2=85

Пример 2. 43 ∙ 50=43 ∙ 100:2=4300:2=2150

Пример 3. 27 ∙ 25=27 ∙ 100:4=2700:4=675

Пример 4. 96 ∙ 125=96:8 ∙ 1000=12 ∙ 1 000=12000

a ∙ 5=a ∙ 10:2 a ∙ 50=a ∙ 100:2

a ∙ 25=a ∙ 100:4 а ∙ 125=а ∙ 1000:8

Задание: умножьте 824∙25

Проверь себя!

824 ∙ 25=824:4 ∙ 100=20600

Задание: умножьте 348∙50

Проверь себя!

348 ∙ 50=348:2 ∙ 100=17400

Возведение в квадрат чисел , оканчивающихся цифрой 5

• Для того чтобы возвести в квадрат число оканчивающееся на 5, надо найти значение выражения:
• 100∙количество десятков числа ∙ (количество десятков+1)+25.
• Пример. =100 ∙ 18 ∙ (18+1)+25=34225.

Задание: возведите в квадрат число 105

Проверь себя!

=100 ∙10∙(10 +1) +25=11025

Увеличение и уменьшение суммы в выражении

• Если от суммы двух чисел отнять разность тех же чисел, то в результате получится удвоенное меньшее число, то есть (a+b)-(a-b)=2b
• Пример. (3+2)-(3-2)=2∙2=4
• Если к сумме двух чисел прибавить их разность, то получится удвоенное большее число, то есть

(a+b)+(a-b)=2a

• Пример. (3+2)+(3-2)=3 ∙ 2=6

Умножение на число, оканчивающиеся на 5

Чтобы четное двузначное число умножить на число, оканчивающееся на 5, можно применить следующее правило.

Если один из сомножителей увеличить в несколько раз, а другой уменьшить во столько же раз, произведение не изменится.

Примеры:

44 ∙ 5 = (44 : 2) ∙ 5 ∙ 2 = 22 ∙ 10 = 220;

28 ∙ 15 = (28 : 2) ∙ 15 ∙ 2 = 14 ∙ 30 = 420;

32 ∙ 25 = (32 : 2) ∙ 25 ∙ 2 = 16 ∙ 50 = 800.

Умножение на число, оканчивающиеся на 5

При умножении на 65, 75, 85, 95 числа следует брать небольшие, в пределе второго десятка. Если возьмем произвольное число (четное), тогда придется потрудиться и перемножить двузначные числа:

Примеры :

48 ∙ 65 = (48 : 2) ∙ 65 ∙ 2 = 24 ∙ 130 = (24 ∙ 10 + 24 ∙ 3) ∙ 10 = (240 + 72) ∙ 10 = 312 ∙ 10 = 3120;

36 ∙ 85 = (36 : 2) ∙ 85 ∙ 2 = 18 ∙ 170 = (18 ∙ 10 + 18 ∙ 7) ∙ 10 = (180 + 126) ∙ 10 = 306 ∙ 10 = 3060.

Умножение на число, оканчивающиеся на 5

Чтобы научиться быстро умножать на 65, 75, 85 и 95 , надо хорошо знать, как умножать устно двузначные числа такого вида:

14 ∙ 18 = 14 ∙ (10 + 8) = 14 ∙ 10 + 14 ∙ 8 = 140 + 112 = 252;

13 ∙ 19 = 13 ∙ (20 - 1) = 13 ∙ 20 - 13 = 260 - 13 = 247.

Деление на 5, на 50, на 25

При делении на 5, на 50, на 25 можно вос-пользоваться следующими выражениями:

a:5=a ∙ 2:10 a:50=a ∙ 2:100

a:25=a ∙ 4:100

Примеры:

35:5=35 ∙ 2:10=70:10=7

3750:50=3750 ∙ 2:100=7500:100=75

6400:25=6400 ∙ 4:100=25600:100=256

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

• Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Пример. 785+963=785+(963+7)-7=785+970-7= 1748

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

• Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится.

Пример. 762+639=(762+8)+(639-8)=770 + 631=1401

Способы быстрого сложения и вычитания натуральных чисел

• Если вычитаемое уменьшить на несколько единиц и уменьшаемое увеличить на столько же единиц, то разность не изменится.

Пример. 529-435=(529-5)-(435+5)=524-440=84

Способы быстрого умножения и деления натуральных чисел

• Для получения единиц произведения перемножают единицы множителей,
• для получения десятков умножают десятки одного на единицы другого множителя и наоборот и результаты складывают,
• для получения сотен перемножают десятки.

Пример. 62∙58=3596

а) 8 ∙ 2=16, пишем 6 помним 1.

б) 8 ∙ 6+5 ∙ 2+1=59, пишем 9, помним 5.

в) 5 ∙ 6+5=35.

Умножение чисел, у которых число десят-ков одинаково, а сумма единиц равна 10

• Число десятков любого множителя умножить на число, которое больше на 1, затем перемножить отдельно единицы этих чисел и, наконец, к первому результату справа приписать второй.

Пример. 204 ∙ 206=42024

а) 20 ∙ (20+1)=420, пишем 420

б) 6 ∙ 4=24, пишем 24

Задание: умножьте 38∙ 32

Проверь себя!

38 ∙ 32=[3 ∙ 4=12, 8∙2=16]=1216

Прием перекрестного умножения при действии с двузначными числами

• Древние греки и индусы в старину называли его «способом молнии» или «умножение крестиком»

  Пример: 24 ∙ 32 = 768

Последовательно производим следующие действия:

1. 4 ∙ 2 = 8 – это последняя цифра результата.

2. 2 ∙ 2 = 4; 4 ∙ 3 = 12; 4 + 12 = 16.

6 – предпоследняя цифра в ответе, единицу запоминаем.

3. 2 ∙ 3 = 6, 6 + 1 = 7 – это первая цифра в ответе.

Ответ: 768.

Умножение однозначного или двухзначного числа на 37

Запомни!

37 ∙ 3=111

37 ∙ 6=222

37 ∙ 9=333

37 ∙ 12=444

37 ∙ 15=555 и т.д

  2 ∙ 37 = 74 и 3 ∙ 37 = 111

37 ∙ 6 = 37 ∙ 3 ∙ 2 = 111 ∙ 2 =222

37 ∙ 8 = 37 ∙ (6+2) = 222 + 74 = 296

37 ∙ 18 = 37 ∙ 3 ∙ 6 = 111 ∙ 6 = 666

Легко запомнить!!!

7 ∙ 11 ∙ 13=1001

77 ∙ 13=1001

77 ∙ 26=2002

77 ∙ 39=3003 и т.д

Легко запомнить!!!

  11 ∙ 11 =121

111 ∙ 111 = 12321

1111 ∙ 1111 = 1234321

11111 ∙ 11111 =123454321

..........................

111111111 ∙ 111111111 = 12345678987654321

Ну-ка в сторону карандаши!

Ни костяшек. Ни ручек. Ни мела.

Устный счёт! Мы творим это дело

Только силой ума и души.

Числа сходятся где-то во тьме,

И глаза начинают светиться,

И кругом только умные лица,

Потому что считаем в уме.

Валентин Берестов (1928-1998)

Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт»

Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт» была написана в 1895 г., то есть более 110 лет назад.

Посмотрите, как сосредоточенно думает мальчик, изображенный на переднем плане. Видно, нелегкую задачу дал учитель. Но этот ученик, наверно, скоро закончит работу, ошибки не должно быть: уж очень серьезно относится он к устному счету. А тот, который что – то шепчет на ухо учителю, кажется, уже решил задачу, только его ответ не совсем правильный. Смотрите: учитель слушает ученика внимательно, но на лице нет одобрения, значит, ученик сделал что – то не так. А может, учитель терпеливо ожидает, когда и другие сосчитают, и потому не спешит одобрить ответ?

А какую же задачу дал им учитель? Не сможем решить ее и мы?

Картина Н.П. Богданова-Бельского «Устный счёт»

Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя. Учитель – Сергей Александрович Рачинский , известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века. Он был доктором естественных наук и профессором ботаники Московского университета. В 1868 г. С. А. Рачинский решает « уйти в народ » . Он держит экзамен на звание учителя начальных классов. На свои средства открывает школу для крестьянских детей в селе Татево Смоленской губернии и становится в ней учителем. Его ученики так хорошо считали устно, что этому удивлялись все посетители школы. Не случайно, художник изобразил С. А. Рачинского вместе с его учениками именно на уроке устного решения задач.

Эта картина - гимн учителю и ученику!

Выводы:

  Существуют способы быстрого сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень …Мы рассмотрели лишь немногие способы быстрого счета.

Все рассмотренные нами методы устного вычисления говорят о многолетнем интересе ученых и простых людей к игре с цифрами. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома можно развить скорость вычислений, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Умножение без калькулятора – тренировка памяти и математического мышления. Вычислительная техника совершенствуется и по сей день, но любая машина делает то, что в нее закладывают люди, а мы узнали некоторые приемы устного счета, которые помогут нам в жизни.

Нам было интересно работать над проектом. Пока мы только изучали и анализировали уже известные способы быстрого счета.

Но кто знает, возможно, в будущем мы сами сможем открыть новые способы быстрых вычислений.

Устный счёт – гимнастика ума.

Умеете ли вы считать? Каждый, конечно ответит: «Да!»

Авторы:

Тюкина Стелла

Стрельникова Юлия

Использованные ресурсы:

• Арутюнян Е., Левитас Г. Занимательная математика.- М.: АСТ – ПРЕСС, 1999. – 368 с.
• Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М., 1978.
• Глейзер Г.И. История математики в школе. – М.,1981.
• «Первое сентября» Математика №3(15), 2007.
• Татарченко Т.Д. Способы быстрого счета на занятиях кружка, «Математика в школе», 2008, №7, стр.68
• Устный счет/Сост. П.М.Камаев. – М.: Чистые пруды, 2007- Библиотечка «Первого сентября», серия «Математика». Вып. 3(15).
• http://portfolio.1september.ru/subject.php

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!!!